The greatest mathematical paper of all time

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  • T h e G r e a t e s t M a t h e m a t i c a l P a p e r o f A l l T i m e A . J . C o l e m a n

    Y o u w i l l s a y t h a t m y t i t l e i s a b s u r d . " M a t h e m a t i c a l p a p e r s c a n n o t b e t o t a l l y o r d e r e d . I t ' s a g r e a t p i t y ! P o o r o l d C o l e m a n h a s o b v i o u s l y g o n e b e r s e r k i n h i s o l d a g e . " P l e a s e r e a d o n . I f i n 1940 y o u h a d a s k e d t h e s t a r r y - e y e d C a n a d i a n

    g r a d u a t e s t u d e n t w h o w a s l a p p i n g u p t h e K - c a l c u l u s f r o m A l o n z o C h u r c h i n P r i n c e t o n t o n a m e t h e s i n g l e m o s t i m p o r t a n t m a t h e m a t i c s p a p e r , w i t h o u t d o u b t I w o u l d h a v e c h o s e n K u r t G 6 d e l ' s b o m b s h e l l [12] t h a t h a d r o c k e d t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a f e w y e a r s b e f o r e . I n 1970, a f t e r m y t w e n t y y e a r s o f r e f e r e e i n g a n d r e -

    v i e w i n g , i f y o u h a d p o s e d t h e s a m e q u e s t i o n , w i t h o u t a n y h e s i t a t i o n I w o u l d h a v e c h o s e n t h e e n o r m o u s p a p e r o f W a l t e r F e i t a n d J o h n T h o m p s o n [11] c o n - f i r m i n g B u r n s i d e ' s 1911 c o n j e c t u r e [3] t h a t s i m p l e f i - n i t e g r o u p s h a v e e v e n o r d e r .

    N o w , i n t h e a u t u m n a l s e r e n i t y o f s e m i - r e t i r e m e n t , h a v i n g f i n a l l y l o o k e d a t s o m e o f W i l h e l m K i l l i n g ' s w r i t i n g s , w i t h o u t a n y d o u b t o r h e s i t a t i o n I c h o o s e h i s p a p e r d a t e d " B r a u n s b e r g , 2 F e b r u a r , 1 8 8 8 " a s t h e m o s t s i g n i f i c a n t m a t h e m a t i c a l p a p e r I h a v e r e a d o r h e a r d a b o u t i n f i f t y y e a r s . F e w c a n c o n t e s t m y c h o i c e s i n c e a p a r t f r o m E n g e l , U m l a u f , M o l i e n , a n d C a r t a n f e w s e e m t o h a v e r e a d i t . E v e n m y f r i e n d H a n s Z a s - s e n h a u s , w h o s e Liesche Ringe (1940) w a s a l a n d m a r k i n t h e s u b j e c t , a d m i t t e d o v e r o u r s e c o n d b e e r a t t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y m e e t i n g i n J a n u a r y 1 9 8 7 t h a t h e h a d n o t r e a d a w o r d o f K i l l i n g . P r e s u p p o s i n g t h a t m y r e a d e r h a s a r u d i m e n t a r y u n -

    d e r s t a n d i n g o f l i n e a r a l g e b r a a n d g r o u p t h e o r y , I s h a l l a t t e m p t t o e x p l a i n t h e m a i n n e w i d e a s i n t r o d u c e d i n K i l l i n g ' s p a p e r , d e s c r i b e i t s r e m a r k a b l e r e s u l t s , a n d s u g g e s t s o m e o f i t s s u b s e q u e n t e f f e c t s . T h e p a p e r t h a t ,

    THE MATHEMATICAL 1NTELL1GENCER VOL. 11, N O . 3 9 1989 Springer-Veflag N e w Y o r k 29

  • f o l l o w i n g C a r t a n , I s h a l l r e f e r t o a s Z . v . G . I I , w a s t h e s e c o n d o f a s e r i e s o f f o u r [ 1 8 ] a b o u t L i e a l g e b r a s . T h e s e r i e s w a s c h u r n e d o u t i n B r a u n s b e r g , a m a t h e m a t i - c a l l y i s o l a t e d s p o t i n E a s t P r u s s i a , d u r i n g a p e r i o d w h e n K i l l i n g w a s o v e r b u r d e n e d w i t h t e a c h i n g , c i v i c d u t i e s , a n d c o n c e r n s a b o u t h i s f a m i l y .

    T h e A h i s t o r i c i s m o f M a t h e m a t i c i a n s

    M o s t m a t h e m a t i c i a n s s e e m t o h a v e l i t t l e o r n o i n t e r e s t i n h i s t o r y , s o t h a t o f t e n t h e n a m e a t t a c h e d t o a k e y r e s u l t i s t h a t o f t h e f o l l o w - u p p e r s o n w h o e x p l o i t e d a n i d e a o r t h e o r e m r a t h e r t h a n i t s o r i g i n a t o r ( J o r d a n f o r m i s d u e t o W e i e r s t r a s s ; W e d d e r b u r n t h e o r y t o C a r t a n a n d M o l i e n [13]). N o o n e h a s s u f f e r e d f r o m t h i s a h i s - t o r i c i s m m o r e t h a n K i l l i n g . F o r e x a m p l e , t h e s o - c a l l e d " ' C a r t a n s u b - a l g e b r a " a n d " C a r t a n m a t r i x , A = (aij)'" w e r e d e f i n e d a n d e x p l o i t e d b y K i l l i n g . T h e v e r y s y m b o l s aij a n d e f o r t h e r a n k a r e i n Z . v . G . I I . H a w k i n s [14, p . 290] c o r r e c t l y s t a t e s :

    S u c h k e y n o t i o n s a s t h e r a n k o f a n algebra, semi-simple algebra, Cartan algebra, r o o t s y s t e m s a n d C a r t a n i n t e g e r s o r i g i n a t e d w i t h Killing, a s d i d t h e striking t h e o r e m e n u - m e r a t i n g all p o s s i b l e s t r u c t u r e s f o r finite-dimensional Lie algebras o v e r t h e c o m p l e x n u m b e r s . . . . C a r t a n a n d Mo- lien a l s o u s e d Killing's r e s u l t s a s a p a r a d i g m f o r t h e d e v e l - o p m e n t o f t h e s t r u c t u r e t h e o r y o f finite d i m e n s i o n a l linear associative a l g e b r a s o v e r t h e complex n u m b e r s , o b t a i n i n g t h e r e b y t h e t h e o r e m o n s e m i s i m p l e a l g e b r a s l a t e r ex- t e n d e d b y W e d d e r b u r n t o a b s t r a c t fields a n d t h e n a p p l i e d b y E m m y N o e t h e r t o t h e matrix r e p r e s e n t a t i o n s o f finite g r o u p s .

    I n t h i s s a m e p a p e r K i l l i n g i n v e n t e d t h e i d e a o f r o o t s y s t e m s a n d o f o~ r o o t - s e q u e n c e s t h r o u g h / 3 . H e e x h i b - i t e d t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n o f a n a r b i t r a r y e l e m e n t o f t h e W e y l g r o u p w h e n W e y l w a s 3 y e a r s o l d a n d l i s t e d t h e o r d e r s o f t h e C o x e t e r t r a n s f o r m a t i o n 19 y e a r s b e f o r e C o x e t e r w a s b o r n ! I h a v e f o u n d n o e v i d e n c e t h a t H e r m a n n W e y l r e a d

    a n y t h i n g b y K i l l i n g . W e y l ' s i m p o r t a n t p a p e r s o n t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f s e m i s i m p l e g r o u p s [26], w h i c h l a i d t h e b a s i s f o r t h e s u b s e q u e n t d e v e l o p m e n t o f a b s t r a c t h a r m o n i c a n a l y s i s , a r e b a s e d s q u a r e l y o n K i l l i n g ' s r e - s u l t s . B u t K i l l i n g ' s n a m e o c c u r s o n l y i n t w o f o o t n o t e s i n c o n t e x t s s u g g e s t i n g t h a t W e y l h a d a c c e p t e d u n c r i t i - c a l l y t h e u n i v e r s a l m y t h t h a t K i l l i n g ' s w r i t i n g s w e r e s o r i d d l e d w i t h e g r e g i o u s e r r o r s t h a t C a r t a n s h o u l d b e r e g a r d e d a s t h e t r u e c r e a t o r o f t h e t h e o r y o f s i m p l e L i e a l g e b r a s . T h i s i s n o n s e n s e , a s m u s t b e a p p a r e n t t o a n y o n e w h o e v e n g l a n c e s a t Z . v . G . I I o r i n d e e d t o a n y o n e w h o r e a d s C a r t a n ' s t h e s i s c a r e f u l l y . C a r t a n w a s m e t i c u l o u s i n n o t i n g h i s i n d e b t e d n e s s t o K i l l i n g . I n C a r t a n ' s t h e s i s t h e r e a r e 2 0 r e f e r e n c e s t o L i e a n d 6 3 t o K i l l i n g ! F o r t h e m o s t p a r t t h e l a t t e r a r e t h e t h e o r e m s o r a r g u m e n t s o f K i l l i n g t h a t C a r t a n i n c o r p o r a t e d i n t o h i s t h e s i s , t h e f i r s t t w o - t h i r d s o f w h i c h i s e s s e n t i a l l y a c o m m e n t a r y o n Z . v . G . I I .

    C a r t a n d i d g i v e a r e m a r k a b l y e l e g a n t a n d c l e a r e x - p o s i t i o n o f K i l l i n g ' s r e s u l t s . H e a l s o m a d e a n e s s e n t i a l c o n t r i b u t i o n t o t h e l o g i c o f t h e a r g u m e n t b y p r o v i n g t h a t t h e " C a r t a n s u b a l g e b r a " o f a s i m p l e L i e a l g e b r a i s a b e l i a n . T h i s p r o p e r t y w a s a n n o u n c e d b y K i l l i n g b u t h i s p r o o f w a s i n v a l i d . I n p a r t s , o t h e r t h a n I I , o f K i l l i n g ' s f o u r p a p e r s t h e r e a r e m a j o r d e f i c i e n c i e s w h i c h C a r t a n c o r r e c t e d , n o t a b l y i n t h e t r e a t m e n t o f n i l p o t e n t L i e a l g e b r a s . I n t h e l a s t t h i r d o f C a r t a n ' s t h e s i s , m a n y n e w a n d i m p o r t a n t r e s u l t s a r e b a s e d u p o n a n d g o b e y o n d K i l l i n g ' s w o r k . P e r s o n a l l y , f o l - l o w i n g t h e v a l u e s c h e m e o f m y t e a c h e r C l a u d e C h e - v a l l e y , I r a n k C a r t a n a n d W e y l a s t h e t w o g r e a t e s t m a t h e m a t i c i a n s o f t h e f i r s t h a l f o f t h e t w e n t i e t h c e n - t u r y . C a r t a n ' s w o r k o n i n f i n i t e d i m e n s i o n a l L i e a l - g e b r a s , e x t e r i o r d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s , d i f f e r e n t i a l g e - o m e t r y , a n d , a b o v e a l l , t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f s e m i s i m p l e L i e a l g e b r a s w a s o f s u p r e m e v a l u e . B u t b e c a u s e o n e ' s P h . D . t h e s i s s e e m s t o p r e d e t e r m i n e o n e ' s m a t h e m a t i c a l l i f e w o r k , p e r h a p s i f C a r t a n h a d n o t h i t u p o n t h e i d e a o f b a s i n g h i s t h e s i s o n K i l l i n g ' s e p o c h - m a k i n g w o r k h e m i g h t h a v e e n d e d h i s d a y s a s a t e a c h e r i n a p r o v i n c i a l l y c 6 e a n d t h e m a t h e m a t i c a l w o r l d w o u l d h a v e n e v e r h e a r d o f h i m !

    T h e F o o t h i l l s t o P a r n a s s u s

    B e f o r e w e e n t e r d i r e c t l y i n t o t h e c o n t e n t o f Z . v . G . I I , i t m a y b e w e l l t o p r o v i d e s o m e b a c k g r o u n d . W h a t w e n o w c a l l L i e a l g e b r a s w e r e i n v e n t e d b y t h e

    N o r w e g i a n m a t h e m a t i c i a n S o p h u s L i e a b o u t 1870 a n d i n d e p e n d e n t l y b y K i l l i n g a b o u t 1 8 8 0 [14]. L i e w a s s e e k i n g t o d e v e l o p a n a p p r o a c h t o t h e s o l u t i o n o f d i f - f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n a l o g o u s t o t h e G a l o i s t h e o r y o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s . K i l l i n g ' s c o n s u m i n g p a s s i o n w a s n o n - E u c l i d e a n g e o m e t r i e s a n d t h e i r g e n e r a l i z a t i o n s , s o h e w a s l e d t o t h e p r o b l e m o f c l a s s i f y i n g i n f i n i t e s - i m a l m o t i o n s o f a r i g i d b o d y i n a n y t y p e o f s p a c e ( o r R a u m f o r m e n , a s h e c a l l e d t h e m ) . T h u s i n E u c l i d e a n s p a c e , t h e r o t a t i o n s o f a r i g i d b o d y a b o u t a f i x e d p o i n t f o r m a g r o u p u n d e r c o m p o s i t i o n w h i c h c a n b e p a r a m - e t e r i z e d b y t h r e e r e a l n u m b e r s - - t h e E u l e r a n g l e s , f o r e x a m p l e . T h e t a n g e n t s p a c e a t t h e i d e n t i t y t o t h e p a - r a m e t e r s p a c e o f t h i s g r o u p i s a t h r e e - d i m e n s i o n a l l i n e a r s p a c e o f " i n f i n i t e s i m a l " r o t a t i o n s . S i m i l a r l y , f o r

    J . a g r o u p t h a t c a n b e p a r a m e t ~ n z e d b y a s m o o t h m a n i - f o l d o f d i m e n s i o n r , t h e r e i s a n r - d i m e n s i o n a l t a n g e n t s p a c e , _z?, a t t h e i d e n t i t y e l e m e n t . I f t h e p r o d u c t o f t w o e l e m e n t s o f t h e g r o u p i s c o n t i n u o u s a n d d i f f e r e n t i a b l e i n t h e p a r a m e t e r s o f i t s f a c t o r s , i t i s p o s s i b l e t o d e f i n e a b i n a r y o p e r a t i o n o n _z? w h i c h w e d e n o t e b y " o , " s u c h t h a t f o r a l l x , y , z , ~ _E, ( x , y ) ~ x o y i s l i n e a r i n e a c h f a c t o r ,

    x o y + y o x = 0 (1)

    3 0 T H E M A T H E M A T I C A L I N T E L L I G E N C E R V O L . 1 1 , N O . 3 , 1 9 8 9

  • L y z e u m H o s i a n u m i n 1 8 3 5 .

    a n d

    x o ( y o z ) + y o ( z o x ) + z o ( x o y ) = 0 (2a)

    o r e q u i v a l e n t l y ,

    x o ( y o z ) = ( x o y ) o z + y o ( x o z ) . ( 2 b )

    T h e e q u a t i o n i n ( 2 a ) i s c a l l e d t h e Jacobi i d e n t i t y a n d i n t h e f o r m ( 2 b ) s h o u l d r e m i n d y o u o f t h e r u l e f o r d i f f e r - e n t i a t i n g a p r o d u c t . (_z?, + , o) i s a L i e a l g e b r a w i t h a n a n t i - c o m m u t a t i v e n o n - a s s o c i a t i v e p r o d u c t . T h e J a c o b i i d e n t i t y r e p l a c e s t h e a s s o c i a t i v i t y o f f a m i l i a r r i n g s s u c h a s t h e i n t e g e r s o r m a t r i x a l g e b r a s . O b v i o u s l y i f ~ i s a s u b s p a c e o f L s u c h t h a t x , y E ~ t x o y E d~, t h e n 9 i s a s u b - a l g e b r a o f 2?. F u r t h e r , i f p:

    (271, + , o) --~ (2?2, + , o) i s a h o m o m o r p h i s m o f o n e L i e a l g e b r a o n t o a n o t h e r , t h e k e r n e l o f p i s n o t m e r e l y a s u b a l g e b r a b u t a n i d e a l . F o r i f K = {x E d?l{p(x)=0}, t h e n f o r a n y x E K a n d a n y y E 271, p ( x o y ) = p(x) o p(y) = 0. T h u s K i s n o t o n l y a s u b - a l g e b r a b u t h a s t h e p r o p e r t y , c h a r a c t e r i s t i c o f a n i d e a l , t h a t f o r a n y x E K, w e h a v e y o x E K f o r e v e r y y E d? 1. W e c a n t h e n d e f i n e a q u o t i e n t a l g e b r a 2?1/K i s o m o r p h i c t o 2?2, i n a m a n n e r a n a l o g o u s t o g r o u p s w i t h n o r m a l s u b g r o u p s . T h u s a L i e a l g e b r a 17 w h o s e o n l y i d e a l s a r e {0} a n d 27 i s h o m o - m o r p h i c o n l y t o 2? o r { 0 } . S u c h a n a l g e b r a i s c a l l e d s i m p l e . T h e s i m p l e L i e a l g e b r a s a r e t h e b u i l d i n g b l o c k s i n t e r m s o f w h i c h a n y L i e a l g e b r a c a n b e a n a l y z e d . L i e r e c o g n i z e d r a t h e r e a r l y t h a t t h e s e a r c h f o r s o l u t i o n s o f s y s t e m s o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w o u l d b e g r e a t l y f a - c i l i t a t e d i f a l l s i m p l e L i e a l g e b r a s w e r e k n o w n . B u t L i e ' s a t t e m p t s t o f i n d t h e m r a n i n t o t h e s a n d s v e r y q u i c k l y . I n h i s q u e s t f o r a l l u n i f o r m s p a t i a l f o r m s K i l l i n g f o r -

    m u l a t e d t h e p r o b l e m o f c l a s s i f y i n g a l l L i e a l g e b r a s

    o v e r t h e r e a l s - - a t a s k w h i c h i n t h e c a s e o f n i l p o t e n t L i e a l g e b r a s s e e m s u n l i k e l y t o h a v e a s a t i s f a c t o r y s o l u - t i o n . I n p a r t i c u l a r , h e w a s i n t e r e s t e d i n s i m p l e r e a l L i e a l g e b r a s ; a s a s t e p i n t h i s d i r e c t i o n h e w a s l e d , w i t h t h e e n c o u r a g e m e n t o f E n g e l , t o t h e p r o b l e m o f c l a s s i - f y i n g a l l s i m p l e L i e a l g e b r a s o v e r t h e c o m p l e x n u m b e r s . W h e n ~ i s a n a s s o c i a t i v e a l g e b r a - - f o r e x a m p l e t h e

    s e t o f n x n m a t r i c e s o v e r C - - t h e n f o r X , Y, Z E ~ , w e d e f i n e X o Y = X Y - Y X = I X , Y / - - t h e s o - c a l l e d c o m m u t a t o r o f X a n d Y. I t i s t h e n t r i v i a l t o s h o w t h a t X o Y s a t i s f i e s (1) a n d (2). T h u s a n y a s s o c i a t i v e a l g e b r a ( ~ , + , .) c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o a L i e a l g e b r a ( ~ , + , ~ b y t h e s i m p l e e x p e d i e n t o f d e f i n i n g X ~ Y = I X , Y ] . T h i s i m m e d i a t e l y l e a d s u s t o t h e n o t i o n o f a l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n o f a L i e a l g e b r a (2?, + , o) a s a m a p - p i n g p o f _z? i n t o H o m ( V ) , s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g c o n - d i t i o n : p ( x o y ) = [ O ( x ) , 0(Y)]. A l t h o u g h t h e d e f i n i t i o n o f a r e p r e s e n t a t i o n o f a L i e a l g e b r a i n t h i s s i m p l e g e n - e r a l f o r m w a s n e v e r g i v e n e x p l i c i t l y b y K i l l i n g o r o t h e r s b e f o r e 1 9 0 0 , t h e i d e a w a s i m p l i c i t i n w h a t E n g e l , a n d K i l l i n g f o l l o w i n g h i m , c a l l e d t h e a d j o i n t g r o u p [15, p . 143] a n d w h a t w e n o w c a l l t h e a d j o i n t r e p - r e s e n t a t i o n . I n p a s s i n g , l e t u s n o t e t h a t u n t i l a b o u t 1930 w h a t w e

    n o w c a l l L i e g r o u p s a n d L i e a l g e b r a s w e r e c a l l e d " c o n - t i n u o u s g r o u p s " a n d " i n f i n i t e s i m a l g r o u p s " r e s p e c - t i v e l y ; s e e [8], f o r e x a m p l e . T h e s e w e r e t h e t e r m s W e y l w a s s t i l l u s i n g i n 1934/5 i n h i s P r i n c e t o n l e c t u r e s [27]. H o w e v e r , b y 1930 C a r t a n u s e d t h e t e r m g r o u p e s d e L i e [4, p . 1166]; t h e t e r m L i e s c h e R i n g e a p p e a r e d i n t h e t i t l e o f t h e f a m o u s a r t i c l e o n e n v e l o p i n g a l g e b r a s b y W i t t [28]; a n d , i n h i s C l a s s i c a l G r o u p s , W e y l [1938, p . 260] w r o t e " I n h o m a g e t o S o p h u s L i e s u c h a n a l g e b r a i s c a l l e d a L i e A l g e b r a . " B o r e l [1, p . 71] a t t r i b u t e s t h e t e r m " L i e g r o u p " t o C a r t a n a n d " L i e a l g e b r a " t o J a - c o b s o n .

    THE MATHEMATICAL 1NTELLIGENCER VOL. 11, N O . 3, 1 9 8 9 31

  • K i l l i n g a s r e c t o r , 1 8 9 7 - 1 8 9 8 .

    F o r t h e a d j o i n t r e p r e s e n t a t i o n o f _t' t h e l i n e a r s p a c e V , a b o v e , i s t a k e n t o b e _Z' i t s e l f a n d p i s d e f i n e d b y

    f ) ( x ) z = x o z f o r e v e r y z E ~ . (3)

    T h e r e a d e r i s u r g e d t o v e r i f y t h a t w i t h t h i s d e f i n i t i o n o f p , t h e J a c o b i i d e n t i t y (2b) i m p l i e s t h a t f)(x o y ) = [ ~ ( x ) , ~ ( v ) ] .

    K i l l i n g I n t e r v e n e s

    K i l l i n g h a d c o m p l e t e d h i s d i s s e r t a t i o n u n d e r W e i e r - s t r a s s a t B e r l i n i n 1 8 7 2 a n d k n e w a l l a b o u t e i g e n v a l u e s a n d w h a t w e n o w c a l l t h e J o r d a n c a n o n i c a l f o r m o f m a t r i c e s , w h e r e a s L i e k n e w l i t t l e o f t h e a l g e b r a o f t h e c o n t e m p o r a r y B e r l i n s c h o o l . I t w a s t h e r e f o r e K i l l i n g r a t h e r t h a n L i e w h o a s k e d t h e d e c i s i v e q u e s t i o n : " W h a t c a n o n e s a y a b o u t t h e e i g e n v a l u e s o f X : = p(x) i n t h e a d j o i n t r e p r e s e n t a t i o n f o r a n a r b i t r a r y x E _ s S i n c e X x = x o x = 0 , X a l w a y s h a s z e r o a s a n e i g e n - v a l u e . S o K i l l i n g l o o k e d f o r t h e r o o t s o f t h e c h a r a c t e r - i s t i c e q u a t i o n ( a t e r m h e i n t r o d u c e d ! ) :

    [ ( o I - X [ = ( o r _ ~ I ( X ) ( o r - 1 q - ~ 2 ( X ) ( o r - 2 - - . . .

    ----- ~ b ~ _ l ( X ) ( o - - 0 . ( 4 )

    H e d e f i n e d k t o b e t h e m i n i m u m f o r x E ~ o f t h e m u l t i p l i c i t y o f z e r o a s a r o o t o f (4). T h i s i s n o w c a l l e d t h e r a n k o f d?. B u t K i l l i n g a n d C a r t a n u s e d t h e t e r m r a n k f o r t h e n u m b e r o f f u n c t i o n a l l y i n d e p e n d e n t Oi r e - g a r d e d a s f u n c t i o n s o f x E _s K i l l i n g n o t e d t h a t O~i(x ) a r e p o l y n o m i a l i n v a r i a n t s o f t h e L i e g r o u p c o r r e - s p o n d i n g t o t h e L i e a l g e b r a c o n s i d e r e d . T h o u g h e x - p r e s s e d i n a r a t h e r c l u m s i e r n o t a t i o n , h e r e a l i z e d t h a t

    = { h E - s X P h = 0 f o r s o m e p}

    i s a s u b a l g e b r a o f d . T h i s f o l l o w s f r o m a s o r t o f L e i b - n i t z d i f f e r e n t i a t i o n r u l e : X n ( y o z ) = Y ~ [ ~ ] X n - S y o X S z , f o r 0 ~ s ~ n . F o r a r b i t r a r y _s i f X i s s u c h t h a t t h e d i m ( ~ ) i s a m i n i m u m , t h e s u b a l g e b r a i s n o w c a l l e d a C a r t a n s u b a l g e b r a . A s a L i e a l g e b r a i t s e l f ~ i s n i l p o t e n t o r w h a t K i l l i n g c a l l e d a n a l g e b r a o f z e r o r a n k . F o r t h e a d j o i n t r e p r e s e n t a t i o n o f ~ o n ~ , I ( o I - H I ~ = (ok f o r a l l h E ~ , s o a l l tbi v a n i s h i d e n t i c a l l y . I f _z? i s s i m p l e , ~ i s i n f a c t a b e l i a n . K i l l i n g c o n v i n c e d h i m s e l f o f t h i s b y a n i n - v a l i d a r g u m e n t . T h e f i l l i n g o f t h i s l a c u n a w a s a s i g n i f i - c a n t c o n t r i b u t i o n b y C a r t a n t o t h e c l a s s i f i c a t i o n o f s i m p l e L i e a l g e b r a s o v e r C . I t w a s a s t r o k e o f l u c k o n K i l l i n g ' s p a r t t h a t t h o u g h h i s a r g u m e n t w a s m i l d l y d e - f e c t i v e , h i s c o n c l u s i o n o n t h i s i m p o r t a n t m a t t e r w a s c o r r e c t . A s s u m i n g t h a t ~ f i s a b e l i a n , i t i s t r i v i a l t o s h o w t h a t

    i n t h e e q u a t i o n

    i ( o i _ HI = (ok II~((o - oL(h)), (5)

    t h e r o o t s , oL(h), a r e l i n e a r f u n c t i o n s o f h E ~f. T h u s {x E ~ * , t h e d u a l s p a c e o f ~ . F o l l o w i n g c u r r e n t u s a g e w e d e n o t e b y / ~ t h e s e t o f r o o t s ~ t h a t o c c u r i n (5). K i l l i n g p r o c e e d e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t a l l ~ h a d m u l t i - p l i c i t y o n e , o r t h a t t h e r - k f u n c t i o n s c~(h) w e r e d i s - t i n c t . I t f o l l o w s t h a t f o r e a c h oL t h e r e i s a n e l e m e n t e~ E d? s u c h t h a t h o e~ = ~ ( h ) e~ f o r a l l h E ~ . T h e n u s i n g ( 2 b ) i t e a s i l y f o l l o w s t h a t f o r (x, [3, E A

    Ja/o (e~ o e~) = (or(h) + 13(h))G, o e , . (6)

    T h i s e q u a t i o n i s t h e k e y t o t h e c l a s s i f i c a t i o n o f t h e r o o t s y s t e m s / ~ t h a t c a n o c c u r f o r s i m p l e L i e a l g e b r a s . F r o m (6) w e c a n i m m e d i a t e l y c o n c l u d e :

    ( i ) e ~ o e l ~ # O ~ a + 13 E /N

    ( i i ) a + 13 ~ ~ e a o e ~ = 0

    (iii) 0 # e ~ o e ~ E ~ o ~ + 13 = 0 .

    I t t u r n s o u t t h a t f o r e v e r y o~ E A , t h e r e i s a c o r r e - s p o n d i n g - c ~ E /X s u c h t h a t 0 # h a : = e~ o e _ ~ E ~ . S o t h e n u m b e r o f r o o t s i s e v e n , s a y 2 m , a n d r = k + 2 m = d i m ( _ s I n t h e a d j o i n t r e p r e s e n t a t i o n l e t E~ c o r r e s p o n d t o e~,

    a n d f o r a n y e~ # 0 c o n s i d e r t h e e l e m e n t E ~ e ~ f o r n E Z + . S t a r t i n g f r o m (6) w e s e e b y i n d u c t i o n t h a t

    3 2 T H E MATHEMATICAL INTELLIGENCER V O L . 11, NO. 3, 1989

  • h o E ~ e a = ( ~ ( h ) + no~(h))E"~e~.

    T h u s i f E ] e a ~ O, f3 + n a ~ A . B u t v e c t o r s w i t h d i s t i n c t e i g e n v a l u e s a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t . T h u s i f 2? i s f i - n i t e - d i m e n s i o n a l t h e r e i s a h i g h e s t v a l u e o f n f o r w h i c h E"~el~ ~ O. C a l l i t p . S i m i l a r l y l e t q b e t h e l a r g e s t v a l u e o f n s u c h t h a t E"__~ea ~ O. T h u s f o r a , 13 ~ A t h e r e i s a n n - s e q u e n c e o f r o o t s t h r o u g h 13 o f l e n g t h p + q + 1 - - w h a t K i l l i n g c a l l e d W u r z e l r e i h e :

    13 - q a , 13 - ( q - 1 ) a . . . . , [ 3 , [ 3 + a . . . . . + p a . (7)

    B e c a u s e H ~ = [E~, E _ ~ ] , t h e t r a c e o f H = i s z e r o , w h i c h i m p l i e s

    2 f 3 ( h ~ , ) + ( p - q ) a ( h ~ , ) = O. ( 8 )

    T h i s , i n o u r n o t a t i o n , i s e q u a t i o n ( 7 ) , p . 1 6 , o f Z . v . G . I I . T h e d i m e n s i o n o f t h e C a r t a n s u b a l g e b r a i s n o w c a l l e d t h e r a n k o f -/'. F o r s i m p l e L i e a l g e b r a s t h i s d e f i n i t i o n a n d K i l l i n g ' s d e f i n i t i o n o f r a n k c o i n c i d e . T h a t i s , f o r s i m p l e L i e a l g e b r a s k = e . H e n c e d i m ( ~ * ) = f , s o t h e r e c a n b e a t m o s t f l i n e a r l y i n d e p e n d e n t r o o t s . U s i n g ( 8 ) , K i l l i n g s h o w e d t h a t t h e r e e x i s t s a b a ' s i s B = { a l , a 2 . . . . . a e } o f gs w h e r e a i ~ Z~ i s s u c h t h a t e a c h ~3 E A h a s r a t i o n a l c o m p o n e n t s i n t h e b a s i s B . I n d e e d , t h e a i { B c a n b e s o c h o s e n t h a t a i i s a t o p r o o t i n a n y a j - s e q u e n c e t h r o u g h i t . T h u s f o r e a c h i a n d j t h e r e i s a r o o t - s e q u e n c e

    % , a i - o 9 . . . . . a i + a i l a i (9)

    w h e r e a q i s a n o n - p o s i t i v e i n t e g e r . I n p a r t i c u l a r , i t t u r n s o u t t h a t aii -= - 2 .

    T h e S t i l l P o i n t o f t h e T u r n i n g W o r l d

    T h e d e f i n i t i o n o f t h e i n t e g e r s a q w a s a t u r n i n g p o i n t i n m a t h e m a t i c a l h i s t o r y . I t a p p e a r s a t t h e t o p o f p a g e 1 6 o f I I . B y p a g e 3 3 K i l l i n g h a d f o u n d t h e s y s t e m s A f o r a l l s i m p l e L i e a l g e b r a s o v e r C t o g e t h e r w i t h t h e o r d e r s o f t h e a s s o c i a t e d C o x e t e r t r a n s f o r m a t i o n s . W e c o n - t i n u e , u s i n g K i l l i n g ' s o w n w o r d s t a k e n f r o m t h e l a s t p a r a g r a p h o f h i s i n t r o d u c t i o n , u n c h a n g e d e x c e p t f o r n o t a t i o n :

    I f ct i a n d % a r e t w o o f t h e s e (~ r o o t s , t h e r e a r e t w o i n t e g e r s aij a n d a# t h a t d e f i n e a c e r t a i n r e l a t i o n b e t w e e n t h e t w o r o o t s . H e r e w e m e n t i o n o n l y t h a t t o g e t h e r w i t h cti a n d txj b o t h ct i + aqet, a n d e 9 + a j i e q a n d ct i + atxj a r e r o o t s w h e r e a i s a n i n t e g e r ~ e t w e e n aij a n d 0. T h e c o e f f i c i e n t s ali a r e all e q u a l t o - 2 ; t h e o t h e r s a r e b y n o m e a n s a r b i t r a r y ; i n d e e d t h e y s a t i s f y m a n y c o n s t r a i n i n g e q u a l i t i e s . O n e s e r i e s o f t h e s e c o n s t r a i n t s d e r i v e g f r o m t h e f a c t t h a t a c e r t a i n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n , d e f i n e d i n t e r m s o f a 0, w h e n i t e r a t e d g i v e s t h e i d e n t i t y t r a n s f o r m a t i o n . E a c h s y s t e m o f t h e s e c o e f f i - c i e n t s i s s i m p l e o r s p l i t s i n t o s i m p l e s y s t e m s . T h e s e t w o p o s s i b i l i t i e s a r e d i s t i n g u i s h e d a s f o l l o w s . B e g i n w i t h a n y i n d e x i, 1 ~< i ~< 2. A d j o i n t o i t a l l j s u c h t h a t a~ i # 0; t h e n

    Wilhelm Killing i n his later years.

    a d j o i n a l l k f o r w h i c h a n ajk ~ O. C o n t i n u e a s f a r a s p o s - s i b l e . T h e n , i f a l l i n d i c e s 1,2 . . . . h a v e b e e n i n c l u d e d , t h e s y s t e m o f a 0 is s i m p l e . T h e r o o t s o f a s i m p l e s y s t e m c o r r e s p o n d t o a s i m p l e g r o u p . C o n v e r s e l y , t h e r o o t s o f a s i m p l e g r o u p c a n b e r e g a r d e d a s d e t e r m i n e d b y a s i m p l e s y s t e m . I n t h i s w a y o n e o b t a i n s t h e s i m p l e g r o u p s . F o r e a c h f t h e r e a r e f o u r s t r u c t u r e s s u p p l e m e n t e d f o r f ( {2, 4, 6, 7, 8} b y e x c e p t i o n a l s i m p l e g r o u p s . F o r t h e s e e x c e p - t i o n a l g r o u p s I h a v e v a r i o u s r e s u l t s t h a t a r e n o t i n f u l l y d e v e l o p e d f o r m ; I h o p e l a t e r t o b e a b l e t o e x h i b i t t h e s e g r o u p s i n s i m p l e f o r m a n d t h e r e f o r e a m n o t c o m m u n i - c a t i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n s f o r t h e m t h a t h a v e b e e n f o u n d s o f a r .

    I n r e a d i n g t h i s , r e c a l l t h a t L i e a n d K i l l i n g u s e d t h e t e r m " g r o u p " t o i n c l u d e t h e m e a n i n g w e n o w a t - t r i b u t e t o " ' L i e a l g e b r a . " H i s s t a t e m e n t i s c o r r e c t a s i t s t a n d s f o r (~ > 3 b u t a s i s a p p a r e n t f r o m h i s e x p l i c i t l i s t o f s i m p l e a l g e b r a s h e k n e w t h a t f o r f = 1 t h e r e i s o n l y o n e i s o m o r p h i s m c l a s s a n d f o r f = 2 a n d 3 t h e r e a r e t h r e e . R e p l a c i n g a i b y - a i g i v e s r i s e t o i n t e g e r s s a t i s - f y i n g a i j = 2 , a i j ~ 0 f o r i # j , w h i c h i s c u r r e n t l y t h e u s u a l c o n v e n t i o n . T h e " c e r t a i n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n ' " m e n t i o n e d b y K i l l i n g i s t h e C o x e t e r t r a n s f o r m a t i o n d i s c u s s e d b e l o w . I t i s w o r t h n o t i n g t h a t i n K i l l i n g ' s e x - p l i c i t t a b l e s t h e c o e f f i c i e n t s f o r a l l r o o t s i n t e r m s o f h i s c h o s e n b a s i s a r e i n t e g e r s , s o h e c a m e c l o s e t o o b - t a i n i n g w h a t w e n o w c a l l a b a s i s o f s i m p l e r o o t s / l l a

    T H E M A T H E M A T I C A L 1 N T E L L I G E N C E R V O L . 11, N O . 3 , 1 9 8 9 33

  • D y n k i n . A s f a r a s I a m a w a r e , s u c h a b a s i s a p p e a r e d e x p l i c i t l y f o r t h e f i r s t t i m e i n C a r t a n ' s b e a u t i f u l 1 9 2 7 p a p e r [4, p . 7 9 3 ] o n t h e g e o m e t r y o f s i m p l e g r o u p s . T h e o n e m i n o r e r r o r i n K i l l i n g ' s c l a s s i f i c a t i o n w a s

    t h e e x h i b i t i o n o f t w o e x c e p t i o n a l g r o u p s o f r a n k f o u r . C a r t a n n o t i c e d t h a t K i l l i n g ' s t w o r o o t s y s t e m s a r e e a s i l y s e e n t o b e e q u i v a l e n t . I t i s p e c u l i a r t h a t K i l l i n g o v e r l o o k e d t h i s s i n c e h i s m a s t e r y o f c a l c u l a t i o n a n d a l g e b r a i c f o r m a l i s m w a s q u i t e p h e n o m e n a l . K i l l i n g ' s n o t a t i o n f o r t h e v a r i o u s s i m p l e L i e a l g e b r a s , s l i g h t l y m o d i f i e d b y C a r t a n , i s w h a t w e s t i l l e m p l o y : A n d e - n o t e s t h e i s o m o r p h i s m c l a s s c o r r e s p o n d i n g t o s e ( n + l , C ) ; B n c o r r e s p o n d s t o s o ( 2 n + I ) ; C n t o s p ( 2 n ) ; D n t o s o ( 2 n ) . T h e c l a s s e s A n, B n, D n w e r e k n o w n t o L i e a n d K i l l i n g b e f o r e 1 8 8 8 . K i l l i n g w a s u n a w a r e o f t h e e x i s t e n c e o f t y p e Cn t h o u g h L i e k n e w a b o u t i t , a t l e a s t f o r s m a l l v a l u e s o f n . O n t h i s p o i n t s e e t h e c a r e f u l d i s - c u s s i o n o f H a w k i n s [15, p p . 1 4 6 - 1 5 0 ] . T h e e x c e p t i o n a l a l g e b r a o f r a n k t w o w h i c h w e n o w

    l a b e l G2 w a s d e n o t e d a s I I C b y K i l l i n g . I t h a s d i m e n - s i o n 14 a n d h a s a l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n o f d i m e n s i o n 7. I n a l e t t e r t o E n g e l [ 15, p . 1 5 6 ] K i l l i n g r e m a r k e d t h a t G2 m i g h t o c c u r a s a g r o u p o f p o i n t t r a n s f o r m a t i o n s i n f i v e , b u t n o t f e w e r , d i m e n s i o n s . T h a t s u c h a r e p r e s e n - t a t i o n e x i s t s w a s s u b s e q u e n t l y v e r i f i e d i n d e p e n d e n t l y b y C a r t a n a n d E n g e l [4, p . 1 3 0 ] . T h e e x c e p t i o n a l a l - g e b r a s F4, E a, E7, E 8 o f r a n k 4, 6, 7, 8 h a v e d i m e n s i o n 5 2 , 78, 1 3 3 , 248, r e s p e c t i v e l y . T h e l a r g e s t o f K i l l i n g ' s e x c e p t i o n a l g r o u p s , E 8 o f d i m e n s i o n 248, i s n o w t h e d a r l i n g o f s u p e r - s t r i n g t h e o r i s t s !

    F o r w a r d t o C o x e t e r

    F o r a n a r b i t r a r y s i m p l e L i e a l g e b r a o f r a n k n , t h e d i - m e n s i o n i s n ( h + l ) , w h e r e h i s t h e o r d e r o f a r e m a r k - a b l e e l e m e n t o f t h e W e y l g r o u p n o w c a l l e d t h e C o x e t e r t r a n s f o r m a t i o n ( b e c a u s e C o x e t e r e x p o u n d e d i t s p r o p e r - t i e s a s p a r t o f h i s s t u d y o f f i n i t e g r o u p s g e n e r a t e d b y r e f l e c t i o n s o r , a s t h e y a r e n o w c a l l e d , C o x e t e r g r o u p s [6, 7]). C o x e t e r e m p l o y e d a g r a p h t o c l a s s i f y t h i s t y p e o f g r o u p . D u r i n g t h e 1 9 3 4 / 5 l e c t u r e s b y W e y l a t P r i n c e t o n , h e n o t i c e d t h a t t h e f i n i t e g r o u p o f p e r m u t a - t i o n s o f t h e r o o t s w h i c h p l a y e d a k e y r o l e i n K i l l i n g ' s a r g u m e n t a n d w h i c h i s i s o m o r p h i c t o w h a t w e n o w c a l l t h e W e y l g r o u p i s i n f a c t g e n e r a t e d b y i n v o l u t i o n s . T h e n o t e s o f W e y l ' s c o u r s e [ 2 7 ] c o n t a i n a n A p p e n d i x b y C o x e t e r i n w h i c h a s e t o f d i a g r a m s e q u i v a l e n t t o t h o s e o f T a b l e 1 a p p e a r s . S o m e y e a r s l a t e r D y n k i n i n - d e p e n d e n t l y m a d e u s e o f s i m i l a r d i a g r a m s f o r c h a r a c - t e r i z i n g s e t s o f s i m p l e r o o t s s o t h a t t h e y a r e n o w g e n - e r a l l y d e s c r i b e d a s C o x e t e r - D y n k i n d i a g r a m s . T h e l e f t - h a n d c o l u m n o f T a b l e 1 e n c a p s u l a t e s

    K i l l i n g ' s c l a s s i f i c a t i o n o f s i m p l e L i e a l g e b r a s . B y s t u d y i n g t h e C o x e t e r t r a n s f o r m a t i o n f o r L i e a l g e b r a s o f r a n k 2, K i l l i n g s h o w e d [ Z . v . G . I I , p . 22] t h a t aijaji {0, 1, 2, 3}. T h e r e i s a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e b e - t w e e n t h e C a r t a n m a t r i c e s o f f i n i t e - d i m e n s i o n a l s i m p l e

    L i e a l g e b r a s a n d t h e l e f t - h a n d c o l u m n o f T a b l e 1. T h e n n o d e s o f a g r a p h c o r r e s p o n d t o K i l l i n g ' s i n d i c e s 1, 2, 3 . . . . . n , o r t o t h e r o o t s o f a b a s i s o r t o g e n e r a t o r s Si o f t h e W e y l g r o u p . A t r i p l e b o n d a s i n G 2 m e a n s t h a t aijaji = 3. D o u b l e a n d s i n g l e b o n d s a r e i n t e r p r e t e d s i m i l a r l y .

    O n t o K a c a n d M o o d y !

    I f w e u s e t h e c u r r e n t c o n v e n t i o n t h a t aii = 2 a n d t h a t aij i s a n o n - p o s i t i v e i n t e g e r i f i # j , i t i s n o t d i f f i c u l t t o s e e t h a t K i l l i n g ' s c o n d i t i o n s i m p l y t h a t d? i s a f i n i t e - d i - m e n s i o n a l L i e a l g e b r a i f a n d o n l y i f t h e d e t e r m i n a n t o f A = ( a q ) a n d t h o s e o f a l l i t s p r i n c i p a l m i n o r s a r e s t r i c t l y p o s i t i v e . F u r t h e r , K i l l i n g ' s e q u a t i o n s ( 6 ) [ Z . v . G . I I . p . 21] i m p l y t h a t A i s s y m m e t r i s a b l e - - t h a t i s , t h e r e e x i s t n o n - z e r o n u m b e r s d i s u c h t h a t d i a i j = djaji. I n p a r t i c u l a r , aii a n d aii a r e z e r o o r n o n - z e r o t o g e t h e r . A l m o s t s i m u l t a n e o u s l y i n 1967, V i c t o r K a c [ 1 6 ] i n

    t h e U S S R a n d R o b e r t M o o d y [ 2 2 ] i n C a n a d a n o t i c e d t h a t i f K i l l i n g ' s c o n d i t i o n s o n ( a i j ) w e r e r e l a x e d , i t w a s s t i l l p o s s i b l e t o a s s o c i a t e t o t h e C a r t a n m a t r i x A a L i e a l g e b r a w h i c h , n e c e s s a r i l y , w o u l d b e i n f i n i t e d i m e n - s i o n a l . T h e c u r r e n t m e t h o d o f p r o v i n g t h e e x i s t e n c e o f s u c h L i e a l g e b r a s d e r i v e s f r o m a s h o r t p a p e r o f C h e - v a l l e y [ 5 ] . T h i s p a p e r w a s a l s o b a s i c t o t h e w o r k o f m y s t u d e n t s B o u w e r [2] a n d L e M i r e [19], w h o d i s c u s s e d i n f i n i t e d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e L i e a l - g e b r a s . C h e v a l l e y ' s p a p e r a l s o i n i t i a t e d t h e c u r r e n t w i d e s p r e a d e x p l o i t a t i o n o f t h e u n i v e r s a l a s s o c i a t i v e e n v e l o p i n g a l g e b r a s o f L i e a l g e b r a s - - a c o n c e p t f i r s t r i g o r o u s l y d e f i n e d b y W i t t [28]. A m o n g t h e K a c - M o o d y a l g e b r a s t h e m o s t t r a c t a b l e a r e t h e s y m m e t r i s a b l e . T h e m o s t e x t e n s i v e l y s t u d i e d a n d a p p l i e d a r e t h e a f f i n e L i e a l g e b r a s w h i c h s a t i s f y a l l K i l l i n g ' s c o n d i t i o n s e x c e p t t h a t t h e d e t e r m i n a n t [A[ i s 0. T h e C a r t a n m a t r i c e s f o r t h e a f f i n e L i e a l g e b r a s a r e i n o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e w i t h t h e g r a p h s i n t h e r i g h t - h a n d c o l u m n o f T a b l e 1, w h i c h f i r s t a p p e a r e d i n [27].

    W i l h e l m K i l l i n g t h e M a n

    K i l l i n g w a s b o r n i n B u r b a c h i n W e s t p h a l i a , G e r m a n y , o n 10 M a y 1847 a n d d i e d i n M ~ i n s t e r o n 11 F e b r u a r y 1923. K i l l i n g b e g a n u n i v e r s i t y s t u d y i n M ~ i n s t e r i n 1865 b u t q u i c k l y m o v e d t o B e r l i n a n d c a m e u n d e r t h e i n f l u e n c e o f K u m m e r a n d W e i e r s t r a s s . H i s t h e s i s , c o m p l e t e d i n M a r c h 1 8 7 2 , w a s s u p e r v i s e d b y W e i e r - s t r a s s a n d a p p l i e d t h e l a t t e r ' s r e c e n t l y d e v e l o p e d t h e o r y o f e l e m e n t a r y d i v i s o r s o f a m a t r i x t o " B u n d l e s o f S u r f a c e s o f t h e S e c o n d D e g r e e . " F r o m 1 8 6 8 t o 1882 m u c h o f K i l l i n g ' s e n e r g y w a s d e v o t e d t o t e a c h i n g a t t h e g y m n a s i u m l e v e l i n B e r l i n a n d B r i l o n ( s o u t h o f M ~ i n s t e r ) . A t o n e s t a g e w h e n W e i e r s t r a s s w a s u r g i n g h i m t o w r i t e u p h i s r e s e a r c h o n s p a c e s t r u c t u r e s ( R a u m f o r m e n ) h e w a s s p e n d i n g a s m u c h a s 36 h o u r s

    3 4 THE MATHEMATICAL INTELLIGENCER VOL. 11, N O . 3, 1989

  • A n ' O n ( n + 2 ) 1

    9 o . . . O ~ O 9 2 3 n - 1 n

    O n n ( 2 n - 1

    O n I

    O ~ O 9 . . , O ~ O 9 1 2 3 n - 2 n - 1

    E 6

    7 8

    O 1

    I O ~ O O ~ O ~ O 2 3 4 5 6

    0 7 I

    E 7 : O ~ O ~ O O - - O ~ O 1 2 3 4 5 6

    1 3 3

    0 8

    I E 8 O ~ O ~ O ~ O ~ O ~ O ~ O

    1 2 3 4 5 6 7 2 4 8

    A n : 9 9 1 1 1 1 1 1

    0 1 O l

    D n : O ~ O ~ O . . . O ~ O ~ O 1 2 2 2 2 1

    O 1 I O 2

    1 0 E 6 : o ~ o ~ o

    1 2 3

    g r o g

    2 1

    0 2

    1 I E v : 0 ,, O ~ O ~ O ~ O

    #

    1 2 3 4 3

    1 E 8 : 0 o m o ~ o 9

    1 2 3 4 5

    O ~ O 2 1

    0 3

    I O ~ O ~ O 6 4 2

    1 A 1 9 9 A 1 9 O ~ O

    1 1 1 3 2

    A I 9 O ~ O I 2

    1 4

    F 4 9 O ~ O : = ~ , = O ~ O 1 2 - - 3 4

    5 2

    B - ' O ~ O ~ O " ' O ~ O ~ O n ( 2 n + l f y 1 2 3 n - 2 n - 1 n

    G 2 9 9 0 2 I

    , = > = 9 9 9 9 F 4 o 9 1 2 3 4 2

    9 9 9 9 0 F 4 9 1 2 3 2 1 O 1

    B 1 0 9 O ~ O ~ O . . . 9 9 n 1 2 2 2 2 2 - - 2

    B2 n : 1 - - I 1 1 1 1 - - I

    BC2n : O : = ~ = O m O ~ O . - . O ~ O = ~ = O 1 - - 2 2 2 2 2 - - 2

    C n : O ~ O ~ O . . . 0 ~ 0 ~ 0 n ( 2 n + l ) 1 , 2 3 n - 2 n - l - - n

    1 O = ~ O m O ~ O . . . 0 ~ 0 ~ - - - 0 , C n " 1 - - 2 2 2 2 2 1

    o l 2 i O ~ I = ~ = = I C n : I ~ O ~ I , . -

    1 2 2 2 2 " 1

    T a b l e 1. C o x e t e r - D y n k i n D i a g r a m o f t h e f i n i t e a n d a f f i n e L i e a l g e b r a s 9

    T H E M A T H E M A T I C A L I N T E L L I G E N C E R V O L . 11, N O . 3, 1 9 8 9 3 5

  • B r a u n s b e r g , w i t h a v i e w o f t h e t h i r t e e n t h - c e n t u r y S t . C a t h e r i n e ' s C h u r c h .

    p e r w e e k i n t h e c l a s s r o o m o r t u t o r i n g . ( N o w m a n y m a t h e m a t i c i a n s c o n s i d e r 6 h o u r s a w e e k a n i n t o l e r a b l e b u r d e n ! ) O n t h e r e c o m m e n d a t i o n o f W e i e r s t r a s s , K i l l i n g w a s a p p o i n t e d P r o f e s s o r o f M a t h e m a t i c s a t t h e L y z e u m H o s i a n u m i n B r a u n s b e r g i n E a s t P r u s s i a ( n o w B r a n i e w o i n t h e r e g i o n o f O l s z t y n i n P o l a n d ) . T h i s w a s a c o l l e g e f o u n d e d i n 1565 b y B i s h o p S t a n i s l a u s H o s i u s , w h o s e t r e a t i s e o n t h e C h r i s t i a n f a i t h r a n i n t o 3 9 e d i - t i o n s ! W h e n K i l l i n g a r r i v e d t h e b u i l d i n g o f t h e L y z e u m

    m u s t h a v e l o o k e d v e r y m u c h a s i t a p p e a r s i n t h e a c - c o m p a n y i n g p i c t u r e . T h e m a i n o b j e c t o f t h e c o l l e g e w a s t h e t r a i n i n g o f R o m a n C a t h o l i c c l e r g y , s o K i l l i n g h a d t o t e a c h a w i d e r a n g e o f t o p i c s i n c l u d i n g t h e r e c - o n c i l i a t i o n o f f a i t h a n d s c i e n c e . A l t h o u g h h e w a s i s o - l a t e d m a t h e m a t i c a l l y d u r i n g h i s t e n y e a r s i n B r a u n s - b e r g , t h i s w a s t h e m o s t c r e a t i v e p e r i o d i n h i s m a t h e - m a t i c a l l i f e . K i l l i n g p r o d u c e d h i s b r i l l i a n t w o r k d e s p i t e w o r r i e s a b o u t t h e h e a l t h o f h i s w i f e a n d s e v e n c h i l - d r e n , d e m a n d i n g a d m i n i s t r a t i v e d u t i e s a s r e c t o r o f t h e c o l l e g e a n d a s a m e m b e r a n d c h a i r m a n o f t h e C i t y C o u n c i l , a n d h i s a c t i v e r o l e i n t h e c h u r c h o f S t . C a t h - e r i n e . K i l l i n g a n n o u n c e d h i s i d e a s i n t h e f o r m o f P r o -

    grammschriften [15] f r o m B r a u n s b e r g . T h e s e d e a l t w i t h (i) N o n - E u c l i d e a n g e o m e t r i e s i n n - d i m e n s i o n s (1883);

    (ii) " T h e E x t e n s i o n o f t h e C o n c e p t o f S p a c e " (1884); a n d (iii) h i s f i r s t t e n t a t i v e t h o u g h t s a b o u t L i e ' s t r a n s - f o r m a t i o n g r o u p s (1886). K i l l i n g ' s o r i g i n a l t r e a t m e n t o f L i e a l g e b r a s f i r s t a p p e a r e d i n (ii). I t w a s o n l y a f t e r t h i s t h a t h e l e a r n e d o f L i e ' s w o r k , m o s t o f w h i c h w a s i n a c - c e s s i b l e t o K i l l i n g b e c a u s e i t n e v e r o c c u r r e d t o t h e c o l - l e g e l i b r a r i a n t o s u b s c r i b e t o t h e A r c h i v f i i r M a t h e m a t i k o f t h e U n i v e r s i t y o f C h r i s t i a n a ( n o w , O s l o ) w h e r e L i e p u b l i s h e d . F o r t u n a t e l y E n g e l p l a y e d a r o l e w i t h r e - s p e c t t o K i l l i n g s i m i l a r t o t h a t o f H a l l e y w i t h N e w t o n , t e a s i n g o u t o f h i m Z . v . G . I - I V , w h i c h a p p e a r e d i n t h e M a t h . A n n a l e n . I n 1892 h e w a s c a l l e d b a c k t o h i s n a t i v e W e s t p h a l i a

    a s p r o f e s s o r o f m a t h e m a t i c s a t t h e U n i v e r s i t y o f M~in- s t e r , w h e r e h e w a s q u i c k l y s u b m e r g e d i n t e a c h i n g , a d m i n i s t r a t i o n , a n d c h a r i t a b l e a c t i v i t i e s . H e w a s Rector Magnificus f o r s o m e p e r i o d a n d p r e s i d e n t o f t h e S t . V i n c e n t d e P a u l c h a r i t a b l e s o c i e t y f o r t e n y e a r s . T h r o u g h o u t h i s l i f e K i l l i n g e v i n c e d a h i g h s e n s e o f

    d u t y a n d a d e e p c o n c e r n f o r a n y o n e i n p h y s i c a l o r s p i r i t u a l n e e d . H e w a s s t e e p e d i n w h a t t h e m a t h e m a - t i c i a n E n g e l c h a r a c t e r i z e d a s " t h e r i g o r o u s W e s t p h a - l i a n C a t h o l i c i s m o f t h e 1850s a n d 1 8 6 0 s . " S t . F r a n c i s o f A s s i s i w a s h i s m o d e l , s o t h a t a t t h e a g e o f 3 9 h e , t o - g e t h e r w i t h h i s w i f e , e n t e r e d t h e T h i r d O r d e r o f t h e F r a n c i s c a n s [24, p . 399]. H i s s t u d e n t s l o v e d a n d a d -

    3 6 THE MATHEMATICAL INTELLIGENCER VOL. 11, N O . 3, 1989

  • m i r e d K i l l i n g b e c a u s e h e g a v e h i m s e l f u n s p a r i n g l y o f t i m e a n d e n e r g y t o t h e m , n e v e r b e i n g s a t i s f i e d u n t i l t h e y u n d e r s t o o d t h e m a t t e r a t h a n d i n d e p t h [23]. N o r w a s K i l l i n g s a t i s f i e d f o r t h e m t o b e c o m e n a r r o w s p e - c i a l i s t s , s o h e s p r e a d h i s l e c t u r e s o v e r m a n y t o p i c s b e y o n d g e o m e t r y a n d g r o u p s . K i l l i n g w a s c o n s e r v a t i v e i n h i s p o l i t i c a l v i e w s a n d

    v i g o r o u s l y o p p o s e d t h e a t t e m p t t o r e f o r m t h e e x a m i - n a t i o n r e q u i r e m e n t s f o r g r a d u a t e s t u d e n t s a t t h e U n i - v e r s i t y o f M f i n s t e r b y d e l e t i n g t h e c o m p u l s o r y s t u d y o f p h i l o s o p h y . E n g e l c o m m e n t s " K i l l i n g c o u l d n o t s e e t h a t f o r m o s t c a n d i d a t e s t h e t e s t i n p h i l o s o p h y w a s vollstfindig w e r t l o s " ( c o m p l e t e l y w o r t h l e s s ) . N o r d o m y s o u r c e s s u g g e s t t h a t h e h a d m u c h o f a s e n s e o f h u m o u r . H e h a d a p r o f o u n d p a t r i o t i c l o v e o f h i s c o u n t r y , s o t h a t h i s l a s t y e a r s ( 1 9 1 8 - 1 9 2 3 ) w e r e d e e p l y p a i n e d b y t h e c o l l a p s e o f s o c i a l c o h e s i o n i n G e r m a n y a f t e r t h e W a r o f 1 9 1 4 - 1 8 . N o n e t h e l e s s , t h e a c c o m p a - n y i n g p h o t o g r a p h o f K i l l i n g i n h i s o l d a g e r a d i a t e s k i n d l i n e s s a n d s e r e n i t y . H e w a s g r e a t l y c h e e r e d b y t h e a w a r d o f t h e L o b a c h e v s k y P r i z e b y t h e P h y s i c o - M a t h e - m a f i c a l S o c i e t y o f K a z a n i n 1900 f o r h i s w o r k i n g e o m - e t r y .

    W h y w a s K i l l i n g ' s W o r k N e g l e c t e d ?

    K i l l i n g w a s a m o d e s t m a n w i t h h i g h s t a n d a r d s ; h e v a s t l y u n d e r r a t e d h i s o w n a c h i e v e m e n t . H i s i n t e r e s t w a s g e o m e t r y a n d f o r t h i s h e n e e d e d all r e a l L i e a l - g e b r a s . T o o b t a i n m e r e l y t h e s i m p l e L i e a l g e b r a s o v e r t h e c o m p l e x n u m b e r s d i d n o t a p p e a r t o h i m t o b e v e r y s i g n i f i c a n t . O n c e Z . v . G . I V h a d a p p e a r e d , K i l l i n g ' s r e - s e a r c h e n e r g i e s w e n t b a c k t o R a u m f o r m e n . I r e c a l l t h a t o n e d a y i n 1 9 4 0 d u r i n g t h e r e g u l a r t e a - c o f f e e r i t u a l i n F i n e H a l l a t P r i n c e t o n , M a r s t o n M o r s e d e - c l a i m e d " A s u c c e s s f u l m a t h e m a t i c i a n a l w a y s b e l i e v e s t h a t h i s c u r r e n t t h e o r e m i s t h e m o s t i m p o r t a n t p i e c e o f m a t h e m a t i c s t h e w o r l d h a s e v e r s e e n . " F e w h a v e l i v e d t h i s p h i l o s o p h y w i t h m o r e 61an t h a n M o r s e ! A n d o f c o u r s e e v e n t h o u g h I i m m e d i a t e l y f o r m e d a d e e p - s e a t e d d i s l i k e f o r M o r s e , t h e r e is s o m e t h i n g i n w h a t h e s a i d . I f y o u d o n o t t h i n k y o u r s t u f f i s i m p o r t a n t , w h y w i l l a n y o n e e l s e ? B u t M o r s e ' s p h i l o s o p h y i s f a r r e - m o v e d f r o m S t . F r a n c i s o f A s s i s i ! A l s o L i e w a s q u i t e n e g a t i v e a b o u t K i l l i n g ' s w o r k .

    T h i s , I s u s p e c t , w a s p a r t l y s o u r g r a p e s , b e c a u s e L i e a d m i t t e d t h a t h e h a d m e r e l y p a g e d t h r o u g h Z . v . G . I I . A t t h e t o p o f p a g e 770 o f L i e - E n g e l I I I [20] w e f i n d t h e f o l l o w i n g l e s s t h a n g e n e r o u s c o m m e n t a b o u t K i l l i n g ' s 1 8 8 6 P r o g r a m m s c h r i f t : " w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e p r e - c e d i n g u n p r o v e d t h e o r e m , . . a l l t h e t h e o r e m s t h a t a r e c o r r e c t a r e d u e t o L i e a n d a l l t h e f a l s e o n e s a r e d u e t o K i l l i n g ! " A c c o r d i n g t o E n g e l [9, p . 221/2] t h e r e w a s n o l o v e

    l o s t b e t w e e n L i e a n d K i l l i n g . T h i s c o m e s t h r o u g h i n t h e n i n e r e f e r e n c e s t o K i l l i n g ' s w o r k i n v o l u m e I I I o f

    W i l h e l m K i l l i n g , probably a b o u t 1889-1891.

    [20]. W i t h o n e e x c e p t i o n t h e y a r e n e g a t i v e a n d s e e m t o h a v e t h e p u r p o s e o f p r o v i n g t h a t a n y t h i n g o f v a l u e a b o u t t r a n s f o r m a t i o n g r o u p s w a s f i r s t d i s c o v e r e d b y L i e . E v e n i f t h i s w e r e t r u e , i t d o e s n o t d o j u s t i c e t o t h e f a c t t h a t t h e r e w a s n o p o s s i b i l i t y o f K i l l i n g i n B r a u n s - b e r g k n o w i n g L i e ' s r e s u l t s p u b l i s h e d i n C h r i s t i a n a . S o i f L i e ' s r e s u l t s a r e w o n d e r f u l , K i l l i n g ' s i n d e p e n d e n t d i s c o v e r y o f t h e m i s e q u a l l y w o n d e r f u l ! I t s e e m s t o m e t h a t e v e n H a w k i n s , w h o h a s d o n e m o r e t h a n a n y o n e e l s e t o r e h a b i l i t a t e K i l l i n g , s o m e - t i m e s a l l o w s h i m s e l f t o b e t o o g r e a t l y i n f l u e n c e d b y t h e w i d e s p r e a d n e g a t i v i s m s u r r o u n d i n g K i l l i n g ' s w o r k . T h e m i s u n d e r s t a n d i n g a b o u t t h e r e l a t i o n o f C a r t a n t o K i l l i n g w o u l d n e v e r h a v e o c c u r r e d i f r e a d e r s o f C a r t a n ' s t h e s i s h a d t a k e n t h e t r o u b l e t o l o o k u p t h e 6 3 r e f e r e n c e s t o K i l l i n g ' s p a p e r s t h a t C a r t a n s u p p l i e d .

    C o n c l u s i o n

    W h y d o I t h i n k t h a t Z . v . G . I I w a s a n e p o c h - m a k i n g p a p e r ? (1) I t w a s t h e p a r a d i g m f o r s u b s e q u e n t e f f o r t s t o

    c l a s s i f y t h e p o s s i b l e s t r u c t u r e s f o r a n y m a t h e m a t i c a l o b j e c t . H a w k i n s [15] d o c u m e n t s t h e f a c t t h a t K i l l i n g ' s

    T H E M A T H E M A T I C A L I N T E L L I G E N C E R V O L . I 1 , N O . 3 , 1 9 8 9 3 7

  • p a p e r w a s t h e i m m e d i a t e i n s p i r a t i o n f o r t h e w o r k o f C a r t a n , M o l i e n , a n d M a s c h k e o n t h e s t r u c t u r e o f l i n e a r associative a l g e b r a s w h i c h c u l m i n a t e d i n W e d - d e r b u r n ' s t h e o r e m s . K i l l i n g ' s s u c c e s s w a s c e r t a i n l y a n e x a m p l e w h i c h g a v e R i c h a r d B r a u e r t h e w i l l t o p e r s i s t i n t h e a t t e m p t t o c l a s s i f y s i m p l e g r o u p s . ( 2 ) W e y l ' s t h e o r y o f t h e r e p r e s e n t a t i o n o f s e m i -

    s i m p l e L i e g r o u p s w o u l d h a v e b e e n i m p o s s i b l e w i t h o u t i d e a s , r e s u l t s , a n d m e t h o d s o r i g i n a t e d b y K i l l i n g i n Z . v . G . I I . W e y l ' s f u s i o n o f g l o b a l a n d l o c a l a n a l y s i s l a i d t h e b a s i s f o r t h e w o r k o f H a r i s h - C h a n d r a a n d t h e f l o w e r i n g o f a b s t r a c t h a r m o n i c a n a l y s i s . (3) T h e w h o l e i n d u s t r y o f r o o t s y s t e m s e v i n c e d i n

    t h e w r i t i n g s o f I. M a c d o n a l d , V . K a c , R . M o o d y , a n d o t h e r s s t a r t e d w i t h K i l l i n g . F o r t h e l a t e s t s e e [21]. (4) T h e W e y l g r o u p a n d t h e C o x e t e r t r a n s f o r m a t i o n

    a r e i n Z . v . G . I I . T h e r e t h e y a r e r e a l i z e d n o t a s o r t h o g - o n a l m o t i o n s o f E u c l i d e a n s p a c e b u t a s p e r m u t a t i o n s o f t h e r o o t s . I n m y v i e w , t h i s i s t h e p r o p e r w a y t o t h i n k o f t h e m f o r g e n e r a l K a c - M o o d y a l g e b r a s . F u r - t h e r , t h e c o n d i t i o n s f o r s y m m e t r i s a b i l i t y w h i c h p l a y a k e y r o l e i n K a c ' s b o o k [ 1 7 ] a r e g i v e n o n p . 2 1 o f Z . v . G . I I . (5) I t w a s K i l l i n g w h o d i s c o v e r e d t h e e x c e p t i o n a l

    L i e a l g e b r a Ea, w h i c h a p p a r e n t l y i s t h e m a i n h o p e f o r s a v i n g S u p e r - S t r i n g T h e o r y - - n o t t h a t I e x p e c t i t t o b e s a v e d ! (6) R o u g h l y o n e t h i r d o f t h e e x t r a o r d i n a r y w o r k o f

    E l i e C a r t a n w a s b a s e d m o r e o r l e s s d i r e c t l y o n Z . v . G . I I . E u c l i d ' s E l e m e n t s a n d N e w t o n ' s P r i n c i p i a a r e m o r e

    i m p o r t a n t t h a n Z . v . G . I I . B u t i f y o u c a n n a m e o n e p a p e r i n t h e p a s t 2 0 0 y e a r s o f e q u a l s i g n i f i c a n c e t o t h e p a p e r w h i c h w a s s e n t o f f d i f f i d e n t l y t o F e l i x K l e i n o n 2 F e b r u a r y 1888 f r o m a n i s o l a t e d o u t p o s t o f B i s m a r c k ' s e m p i r e , p l e a s e i n f o r m t h e E d i t o r o f t h e M a t h e m a t i c a l I n t e l l i g e n c e r .

    A c k n o w l e d g m e n t s

    M y d e b t t o T h o m a s H a w k i n s w i l l b e o b v i o u s t o a n y o n e w h o h a s e x p l o r e d h i s f a s c i n a t i n g h i s t o r i c a l w r i t i n g s . I a m a l s o m o s t g r a t e f u l t o I. K i e s s l i n g o f t h e U n i v e r s i t y l i b r a r y i n M f i n s t e r a n d t o K . H a e n e l o f t h e l i b r a r y o f G 6 t t i n g e n f o r i n v a l u a b l e i n f o r m a t i o n a b o u t K i l l i n g ' s l i f e a n d t h e p i c t u r e s w h i c h e n l i v e n t h i s a r - t i c l e .

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