CAPITOLUL 9 CALCUL INTEGRAL - ?· CAPITOLUL 9 CALCUL INTEGRAL 9.1. INTEGRALE GENERALIZATE 9.1.1. INTEGRALE CU LIMITE INFINITE BREVIAR TEORETIC Definiţie. Fie f

  • Published on
    03-Feb-2018

  • View
    221

  • Download
    4

Transcript

  • CAPITOLUL 9 CALCUL INTEGRAL

    9.1. INTEGRALE GENERALIZATE

    9.1.1. INTEGRALE CU LIMITE INFINITE BREVIAR TEORETIC

    Definiie. Fie Raf ),[: o funcie integrabil pe orice interval

    compact acca >],,[ . Dac

    c

    acdxxf )(lim exist i este finit,

    spunem c

    adxxf )( este convergent i vom nota

    =

    c

    acadxxfdxxf )(lim)( .

    Criteriu de convergen. Fie 0)(,0,),[: >> xfaRaf ,

    ),[ ax . Dac RLxfxx

    =

    )(lim , atunci:

    1) pentru 1> , rezult c

    adxxf )( este convergent.

    2) pentru 1 i 0L , rezult c

    adxxf )( este divergent.

  • PROBLEME REZOLVATE 1. Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor integrale i n caz de convergen s se determine valoarea acestora:

    )a

    =a

    kx RkdxeI ,1 ; )b dxx

    I +

    =0

    22 21 ;

    )c dxxx

    I

    ++=

    1261

    23; )d Rdx

    xI =

    ,1

    14 ;

    )e

    =0

    5 cos xdxxI ; )f dxxxI

    ++=

    126 65

    1 .

    Rezolvare: )a Vom aplica definiia din breviarul teoretic.

    Funcia kxexfRaf = )(,),[: este integrabil pe orice interval compact acca >],,[ . Studiem existena i valoarea limitei:

    ( ) kcc

    kakakc

    c

    c

    a

    kxc

    ekk

    eeek

    dxeL

    === lim

    11limlim ,

    pentru 0k .

    Pentru 0>k avem kakcc

    ek

    Le

    ==10lim , prin urmare

    integrala este convergent i kaa

    kx ek

    dxe

    =1 .

    Pentru 0

  • )b Aplicm definiia. Funcia 2

    1)(,]0,(:2 +

    =x

    xfRf

    este integrabil pe orice interval compact 0],0,[ > cc . Vom studia limita:

    =

    ++=

    +=

    2ln2lnlim

    2

    1lim0

    20

    2 ccccxxdx

    xL

    2ln2

    2lnlim2ln2lnlim2

    2 =++

    =

    ++

    cccc

    cc,

    prin urmare integrala 2I este convergent i 2ln2

    10

    2=

    +

    dxx

    .

    )c Funcia 126

    1)(,: 2 ++=

    xxxfRRf este integrabil pe

    orice interval compact 0],,[ > ccc . Vom studia limita:

    =+

    =++

    =++

    =

    3

    33

    1lim3)3(

    1lim126

    1lim 22xarctgdx

    xdx

    xxL

    c

    c

    cc

    c

    cc

    32231

    33

    33lim

    31

    =

    +=

    +

    +=

    carctgcarctgc

    , rezult

    c integrala 3I este convergent i 31261

    23

    =++

    =

    dxxx

    I .

    )d Funcia xxfRf 1)(,),1[: = este integrabil pe orice

    interval compact 1],,1[ >cc . Studiem existena i valoarea limitei:

    =c

    cdx

    xL

    1

    1lim . Pentru 1 avem:

  • +

    =

    +== 1

    1

    1

    1

    lim1

    11

    11

    lim1lim cxdxx

    Lc

    c

    c

    c

    c;

    Dac =< L1 , rezult c integrala este divergent.

    Dac 1

    11

    =>

    L , deci integrala este convergent.

    Dac ==== cdxxL c

    c

    clnlim1lim1

    1

    , prin urmare

    integrala este divergent.

    )e Aplicm definiia. Funcia xxxfRf cos)(,]0,(: = este integrabil pe orice interval compact 0],0,[ > cc . Vom studia limita:

    =

    ===

    00

    00

    sinsinlim)'(sinlimcoslimc

    ccc

    cc

    cxdxxxdxxxxdxxL

    ( ) )(limcos1sinlimcos1sinlim cfc

    cc

    cccccccc

    =

    +=+= ;

    pentru =+=

    )(lim2 2 nnn xfnx ;

    pentru ==

    )(lim2 '2'

    nnnxfnx , prin urmare nu exist

    0

    coslimc

    cxdxx , deci integrala

    =0

    5 cos xdxxI este divergent.

  • )f Funcia 65

    1)(,),1[: 2 ++=

    xxxfRf este integrabil

    pe orice interval compact 1],,1[ > cc . Studiem limita:

    =+

    =++

    =

    c

    c

    c

    cdx

    xdx

    xxL

    12

    212

    25

    12 )()(

    1lim65

    1lim

    2ln21ln

    32lnlim

    32lnlim

    1=

    ++

    =++

    = c

    cxx

    c

    c

    c, prin urmare

    integrala 6I este convergent i 2ln651

    126 =++

    =

    dxxx

    I .

    2. Utiliznd criteriul de convergen, s se studieze natura urmtoarelor integrale, iar n caz de convergen s se afle valoarea acestora:

    )a

    +=

    06

    2

    1 1dx

    xxI ; )b

    ++

    =1

    32 3243 dx

    xxxI ; )c

    1

    2 dxxarctgx .

    Rezolvare:

    )a Funcia 62

    1)(,),0[:

    xxxfRf+

    = , are proprietatea c

    ),0[,0)( > xxf . Deoarece 11

    lim 62

    =+ xxx

    x

    , pentru

    14 >= rezult, conform criteriului de convergen enunat n breviarul teoretic, c integrala este convergent. Valoarea integralei este:

    ==

    =

    +=

    c

    c

    c

    ccarctgcarctgxdx

    xxI

    0

    3

    0

    36

    2

    631lim

    31lim

    1lim .

  • )b Funcia 3 32

    43)(,),1[:+

    +=

    xxxxfRf , are proprietatea

    c ),1[,0)( > xxf . Deoarece 33 23

    3243lim =+

    +

    xxxx

    x

    ,

    pentru 131 ,1,0)( xxf . Deoarece 22lim =

    xarctgxx

    x pentru

    12 >= rezult, conform criteriului de convergen, c integrala este convergent. Valoarea integralei este:

    ( ) ( ) =

    ++==

    c cc

    cxc xxdxarctgx

    xdxarctgxI

    1 121

    '1

    11limlim .

    ( ) ( ) =++=++= 2

    121

    41

    2221

    4 1lim

    12lim

    c

    c

    c

    c ttdt

    xxxdx

    2ln2ln1

    lnlim 21

    421

    2

    2

    21

    4 +=+++=

    cc

    c.

    3. S se studieze natura integralei: Rmdxxx

    xIm

    +

    =

    ,1422

    2 .

    Rezolvare:

    Funcia 142

    )(,),2[: 2 +=

    xxxxfRf

    m

    , are proprietatea c

    ),2[,0)( > xxf .

  • Avem c 21

    142lim 2 =+

    xx

    xxm

    x

    dac i numai dac

    mm ==+ 22 . Rezult c:

    Pentru 112 = mm , integrala este convergent.

    Pentru 112 = mm , integrala este divergent.

    4. S se determine valorile parametrului Rn pentru care

    integrala dxx

    xI

    n

    +=

    0 11 35

    12

    825 este convergent.

    Rezolvare:

    Funcia 11 35

    1

    825)(,),0[:

    2

    +=

    x

    xxfRfn

    , are proprietatea c

    ),0[,0)( > xxf .

    1111 35

    12

    251

    825lim =

    +

    x

    xx

    n

    x

    dac i numai dac

    21146

    11351

    2nn

    ==+ .

    Ca urmare a aplicrii criteriului de convergen, avem c integrala

    este convergent dac i numai dac 11701

    21146

    = nn .

  • PROBLEME PROPUSE Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor integrale i n caz de convergen s se determine valoarea acestora (notat I ):

    1. Radxxe ax

    ,0

    R: divergent dac 0a ; convergent

    dac 0>a i 21aI = .

    2.

    +02 42

    1xx

    R: convergent, 932=I .

    3.

    0

    sin xdx R: divergent.

    4. dxx +

    0

    2 4

    1 ; R: divergent.

    5. dxxx

    x

    ++

    +

    32 34

    12 R: divergent.

    6. Zdxx

    ,1

    1 R: divergent pentru 1 , convergent

    pentru 1> i ( )

    = 1

    1 1I .

    7.

    dxx sin R: divergent.

    8. 0,1

    >

    adxxa x R: convergent pentru ( )1,0a i

    aaaI 2ln

    1ln = ; divergent pentru 1a .

  • 9.

    0

    2cos xdx R: divergent.

    10. dxx

    2

    2 1

    1 R: divergent.

    11. dxxxe

    3ln

    1 R: convergent i 2=I .

    12. dxxx

    +

    13 1

    12 R: convergent i 2ln9

    3+=

    I .

    13. dxx

    +11

    4 R: convergent i

    22

    =I .

    14. Radxxe ax

    ,cos1

    R: divergent dac 0a ; convergent

    dac 0>a i 12 +

    =a

    aI .

    15. dxxarctgx

    +12 1

    R: convergent i 32

    3 2=I .

    16. Rdxx

    x

    ,ln

    1

    R: divergent dac 1 ; convergent

    dac 1> i ( )21

    1

    =

    I .

    Utiliznd criteriul de convergen pentru funcii pozitive, s se studieze natura integralelor urmtoare i, dac este posibil, s se determine valoarea lor.

    17.

    1

    dxx

    arctgx R: divergent.

  • 18.

    +

    +

    13 65

    32 dxxx

    x R: divergent.

    19.

    14 dxx

    arctgx R: convergent i 2ln61

    61

    12 +=I .

    20.

    +

    12 135

    1 dxxx

    R: convergent i 2734=I .

    21.

    +

    +

    1 3 5

    2

    32

    43 dxxx

    x R: divergent.

    22. dxx

    23 11 R: convergent i 3ln6

    118

    3 = I .

    23.

    +++

    12

    5

    4253 dx

    xxx . R: convergent.

    S se studieze natura integralelor:

    24. Rmdxxx

    xm

    ++

    ,422

    2 .

    R: convergent dac 1m .

  • 26. 2,,34)23(

    12

    1

    7

    +

    mNmdxxx

    xm

    R: convergent dac 7

  • 9.1.2. INTEGRALE DIN FUNCII NEMRGINITE

    BREVIAR TEORETIC Definiie. Fie Rbaf ],(: o funcie integrabil pe orice interval

    compact ],(],[ babc i =

    )(lim xfax

    . Dac dxxfb

    a+>

    )(lim

    00

    exist i este finit, vom spune c b

    adxxf )( este convergent i

    vom nota dxxfdxxfb

    a

    b

    a+>

    =

    )(lim)(

    00

    .

    Criteriu de convergen. Fie ],(,0)(,],(: baxxfRbaf > i =

    )(lim xf

    ax.

    1) Dac RAxfax

    axax

    =

    >

    )()(lim , pentru 1

    , pentru 1 atunci

    b

    adxxf )( este divergent.

  • PROBLEME REZOLVATE 1. Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor integrale i n caz de convergen s se determine valoarea acestora:

    )a

    =0

    321 9

    1 dxx

    I ; )b +

    =2

    122 86

    1 dxxx

    I ;

    )c ( )

    Rpdxax

    Ib

    ap

    = ,1

    3 ; )d =e

    dxxx

    I1

    4 ln1 ;

    Rezolvare:

    )a Fie 29

    1)(,]0,3(:x

    xfRf

    = . Cum

    +=> 233 91lim

    xxx,

    rezult c funcia este nemrginit n unul din punctele domeniului de integrare. Avem c f este continu, deci integrabil pe orice interval compact

    ]0,3(]0,[ c . Studiem existena i valoarea limitei:

    233arcsin0lim

    3arcsinlim

    x-91lim

    00

    0

    300

    0

    32

    00

    =

    +==

    >

    +>

    +>

    xdx ,

    deci integrala este convergent i 29

    10

    321

    =

    =

    dxx

    I .

    )b Fie 86

    1)(,)2,1[: 2 +=

    xxxfRf . Cum +=

    >

    >

    2

    100

    2

    12

    00

    2

    12

    00 2

    4ln21lim

    1)3(1lim

    861lim

    xxdx

    xdx

    xx

    =

    +=

    > 3

    5ln2lnlim21

    00

    , deci integrala este divergent.

    )c Funcia ( )pax

    xfRbaf

    =1)(,],(: este nemrginit i

    integrabil pe orice interval compact ],(],[ babc . Studiem limita:

    ( )( ) =

    =

    =

    +

    >+>

    b

    ap

    b

    ap

    axp

    dxax

    L

    1

    00

    00

    lim1

    11lim

    ( )

    =

    >

    ppabp

    1

    00

    1 lim1

    1

    , pentru 1p .

    Dac 1

    p avem =L , deci integrala este divergent. pentru 1=p avem

    ( ) +===

    =>+

    >

    +>

    lnlimlnlnlim1lim00

    00

    00

    abaxdxax

    Lb

    a

    b

    a

    ,

    prin urmare integrala este divergent.

  • )d Fie xx

    xfRefln1)(,],1(: = . Cum +=

    >

    )(lim

    11

    xf

    xx

    ,

    rezult c funcia este nemrginit n unul din punctele domeniului de integrare. Funcia f este continu, deci integrabil pe orice interval compact

    ],1(],[ eec . Studiem existena i valoarea limitei:

    =+==

    >+

    >+>

    ))1ln(ln(lim)ln(lnlimln

    1lim

    001

    0010

    0

    ee xdxxx

    , deci

    integrala este divergent. 2. Folosind criteriul de convergen pentru funcii pozitive s se studieze natura urmtoaelor integrale i, dac este posibil, s se determine valoarea acestora:

    )a

    2

    024

    1 dxx

    ; )b +

    4

    13 23

    1 dxxx

    ;

    )c badxxbax

    b

    a

    > )2()1(

    1lim23

    1lim 2113

    11 xxxx

    xx

    xx

    . Avem c

    ]4,1(,0)( > xxf i.

    ( ) 1)2()1(

    1lim2

    11

    =+

    > xx

    x

    xx

    pentru 12 >= , deci, conform criteriului

    de convergen, rezult c integrala este divergent.

    )c Fie ))((

    1)(,),(:xbax

    xfRbaf

    = . Scriem

    21))((1 IIdx

    xbax

    b

    a+=

    , unde

    =

    c

    adx

    xbaxI

    ))((1

    1 i

    =b

    cdx

    xbaxI

    ))((1

    2 , bca ))((

    1limxbax

    axax

    i ],(,0)( caxxf > ;

  • abxbaxax

    axax

    =

    >

    1))((

    1)(lim pentru 121 ;

    abxbaxxb

    bxbx

    =

    dtttabttab

    ab

    ab

    cossin)(2cossin)(

    1limarccos

    arcsin 22200

    ===

    >

    >

    abab

    ab

    ab

    tdt arccosarcsin

    00

    arccos

    arcsin00

    2lim2lim .

  • PROBLEME PROPUSE Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor integrale i n caz de convergen s se determine valoarea acestora (notat I ):

    1.

    =0

    1 21

    1

    1 dxx

    I . R: convergent i 2=I .

    2. +

    =3

    122 158

    1 dxxx

    I . R: divergent.

    3. ( )

    Rmdxxb

    Ib

    am

    = ,1

    3 . R: convergent i

    ( )m

    abIm

    =

    1

    1 dac 1

  • S se studieze natura integralelor:

    9. e

    dxxx

    1

    0ln1 . R: divergent.

    10.

    1

    32 1

    1 dxx

    . R: convergent i ( )223ln =I .

    Utiliznd criteriul de convergen pentru funcii pozitive s se studieze natura integralelor, i, n caz de convergen, s se determine valoarea lor:

    11. ( ) +

    1

    0 31 dx

    xx. R: convergent i 9

    3=I .

    12. 3

    0 )3(1 dx

    xx. R: convergent i =I .

    13. +

    3

    22 23

    1 dxxx

    . R: divergent.

    S se precizeze mulimea valorilor parametrilor reali pnm ,, pentru care urmtoarele integrale sunt convergente:

    14. dxxx

    n+1

    02

    5 4 12 . R: 21

  • 9.1.3. INTEGRALE EULERIENE BREVIAR TEORETIC

    Integrala gamma: ( )

    >=0

    1 0; adxexa xa .

    Proprieti: 1) ( ) 11 = . 2) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,11 >= aaaa . 3) ( ) ( ) ( ) Nnnn = ,!1 .

    4) =

    21 .

    Integrala beta: ( ) ( ) >>= 1

    0

    11 0,0;1, badxxxba ba

    Proprieti: 1) ( ) ( ) 0,,,, >= baabba 2) ( ) ( ) ( )( ) 0,,, >+

    = ba

    bababa .

    2) ( )( )

    +

    +=

    0

    1

    1, dx

    xxba ba

    a .

    3) Dac 1=+ ba , atunci ( )a

    basin

    ),( = .

  • PROBLEME REZOLVATE S se calculeze urmtoarele integrale:

    1. +

    +=1

    11 dxexI x .

    Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil dtdxtxtx ===+ 11 . Intervalul de integrare se modific dup cum rezult din tabelul de mai jos: x 1 t 0

    Obinem: dtetI t

    =0

    21

    . Prin identificare cu formula de definiie a

    integralei gamma, rezult 23

    211 == aa , prin urmare

    ( ) ( ) 21212123 ===I .

    2. +

    =0

    25 dxexI x .

    Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil dtdxtxtx 2

    1212 === .

    x 0 t 0

    Obinem: ( )8

    152

    !5621

    21

    21

    2 6605

    60

    5====

    =

    dtetdtetI tt .

    3. +

    = dxexI x26 .

  • Rezolvare: Deoarece funcia care trebuie integrat este par, rezult c

    +

    =0

    6 22 dxexI x .

    Folosim schimbarea de variabil: dttdxtxtx 21

    21

    212 === .

    x 0 t 0

    8

    1521

    21

    23

    25

    272

    00213 2521 =

    =

    ===

    +

    + dtetdttetI tt .

    4. xdxxI 31

    0ln= .

    Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil: dtedxextx tt ===ln x 0 1 t 0

    ==0

    30

    3 232 dtetdteteItt t

    Facem transformarea: dydtytyt 32

    32

    23 ===

    t 0 y 0

    ( ) ( ) ( )27324

    8116

    81160

    0

    3323

    32 ====

    dyeydyeyI yy .

  • 5.

    =0

    2

    dxeI x (integrala Euler-Poisson).

    Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil: dttdxtxtx 2

    121

    212 === .

    x 0 t 0

    221

    21

    021

    021 2121 =

    ===

    dtetdtteI tt .

    6. 1,ln

    1>

    adx

    xx

    a .

    Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil: dtedxextx tt ===ln . x 1 t 0

    ( )

    ==0

    1

    0dtetdteetI tatat .

    Folosim schimbarea de variabil: ( ) dydtytyta aa 1

    11

    11

    === .

    t 0 y 0

    ( ) ( )( )

    ( )222 11

    11

    011 2

    === aa

    ya

    dyeyI .

  • 7. Integrala dxeI xx

    +=1

    15,0 2 are forma b

    ake

    2 . S se

    determine valorile parametrilor reali k , a i b . Rezolvare:

    Avem c: ===

    + +

    11

    1 2 1222

    21

    dxedxeIxxxx

    +

    +++

    ==

    1

    21

    1

    23

    212

    2

    23

    2

    dxeedxexxx

    . Folosim schimbarea de variabil:

    dtdxtxtx 21221

    ===+ .

    x 1 t 0

    =0

    22

    23

    dteeI t . Folosind faptul c 20

    2 =

    dte t (integrala

    Euler-Poisson), obinem c 21

    23

    23

    222

    == eeI , prin urmare

    valorile cutate ale celor trei parametri sunt: 21,

    23,1 === bak .

    S se calculeze urmtoarele integrale:

    8. ( )

    =1

    0 3 2 1 xx

    dxI .

  • Rezolvare:

    ( )( ) =

    =

    1

    0

    1

    0 3 231

    32

    11

    dxxxxx

    dxI . Prin identificare cu formula

    de definiie a integralei beta, obinem:

    31

    321 == aa ; 3

    2311 == bb , prin urmare, avnd n

    vedere definiia i proprietatea 3 pentru integrala beta, rezult:

    ( )3

    2sin

    ,3

    32

    31

    ===I .

    9. ( ) =1

    0

    38 1 dxxxI .

    Rezolvare: Facem schimbarea de variabil dttdxtxtx 3

    231

    313 === .

    x 0 1 t 0 1

    ( ) ( ) ( )121

    )5()2()3(

    312,311

    1

    031

    1

    0

    231

    31 3238 =

    ==== dtttdttttI .

    10. ( ) dxxxI =1

    0

    5,123 1 .

    Rezolvare: Facem schimbarea de variabil: dttdxtxtx 2

    121

    212 === .

    x 0 t 0

  • Prin urmare, ( ) ( ) === 1

    0

    1

    0

    5,12 21236131 1211 dttttdxxxI

    ( )

    == 2

    5,32

    211

    21 1

    0

    23

    31

    dttt .

    11. S se calculeze: a) ( )

    +=

    061

    dxx

    xI ; b)

    +=

    061

    dxx

    xI .

    Rezolvare: a) Prin identificare cu a doua formul de definiie a integralei beta (proprietatea 2), obinem: 211 == aa ; 46 ==+ bba ,

    prin urmare ( ) ( ) ( )( ) 201

    6424,2 =

    == I .

    b) Facem schimbarea de variabil dttdxtxtx 65

    61

    616 === .

    x 0 t 0

    ( )

    ===+

    =+

    =0 3

    32

    31

    1

    061

    93

    sin61,

    61

    161

    161 3

    2

    656

    1

    ttdtt

    ttI .

    12. Integrala ( ) ( ) =2

    0

    6,04,1 cossin

    dxxxI are forma ),( qpk ,

    unde 0,;,, > qpRqpk . S se afle valorile paramertilor qpk ,, . Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil: dtxdxxtx == cossin2sin2 . x 0 2

    t 0 1 Transformm funcia care trebuie integrat astfel:

  • == 2

    0

    6,14,0 cossin2)(cos)(sin21

    xdxxxxI

    =2

    0

    8,022,02 cossin2)(cos)(sin21

    xdxxxx . Obinem:

    ( )2,0;2,121)1(

    21 1

    0

    8,02,0 == dtttI , deci 2,0;2,1;21

    === qpk .

    13. S se calculeze integrala: ( )( )

    +

    =3

    4 6 534 xx

    dxI .

    Rezolvare:

    Integrala se poate scrie: ( ) ( )

    +=3

    4

    65

    61

    34 dxxxI .

    ncercm s facem schimbarea de variabil dtdxtxtx ===+ 44 .

    x 4 3 t 0 7 Se observ c intervalul de integrare devine ( )7,0 , prin urmare, pentru a ajunge la intervalul ( )1,0 , vom folosi schimbarea de variabil dtdxtxtx 747

    74

    ===+ .

    x 4 3 t 0 1

    Obinem: ( ) ( ) ( ) === 1

    0

    1

    0

    65

    61

    65

    61

    65

    61

    17777777 dtttdtttI

    ( ) ( ) 2sin,, 665

    61

    61

    65 ==== .

  • PROBLEME PROPUSE S se calculeze valoarea urmtoarelor integrale:

    1.

    0

    36 dxex x R: 24380 2.

    0

    7 2 dxex x R: 3;

    3. ( ) dxxx 1

    0

    52 R: 27721 4.

    +

    dxex x24

    R: 43

    5. 1

    0

    2dxxx R: 8

    6. +

    dxe x2

    R:

    7. ( )

    +1

    151 dxex x R: 8. ( ) dxxx

    +0

    1

    32 1 R: 601

    9.

    05 dxex x R: 120 10.

    +0 2 23 dxe

    xxx

    R: -1

    11. ( ) 1

    0

    6314 1 dxxx R: 69301

    12.( )

    1

    0 3 2 1

    1 dxxx

    R: 3

    32

    13. dxxx 2

    0

    22 4 R: 14. ( )

    +06

    4

    1dx

    xx R: 5

    1

    15. ( ) dxxx 1

    0

    42 R: 6301 16.

    ( )

    1

    0 6 5 1

    1 dxxx

    R: 2

    17. ( )1

    0

    5ln dxxx R: 8

    15 18. 0,

    0

    222 > adxxaxa

    R: 164a

    19.

    +041

    1 dxx

    R:22

    20.

    ++2

    25)2( dxex x R: 120

  • 21.( )

    1

    0 4 3 1

    1 dxxx

    R: 2 22.

    0

    2

    2

    dxex

    R:22

    23. 0;0

    >

    ndxenx R: ( )nn 11

    24. 0,;0

    >

    nmdxexnxm R: ( )nmn 11 +

    25. ( )

    2

    272 dxex x R: !7 26.

    0

    dxe x R: 2

    27. 2/

    0

    53 cossin

    dxxx R: 121 28.

    +

    0

    7 5 7 dxex x R: !117

    29. dxxx

    0

    3

    24 9 R: 32729

    30. +

    dxex22

    R: 2 31.( )

    +032

    10

    21dx

    x

    x R: 2

    32. dxx1

    0

    1ln R: 2

    33.( ) ( )

    +

    1

    3 6 5 13 xx

    dx R: 2

    34. Nndxex xn

    ;2

    R: 0 , dac n impar; ( ) ( ) 22

    !!12

    1n

    nn = + ,

    dac n par

    35. ( )

    ++1

    131 dxex x R: -3! 36. ( )( ) 3

    1 13dx

    xxdx R:

    37. e

    dxxxx1

    43 )ln1(ln1 R: 2801 38.

    +06

    4

    1dx

    xx

    R: 3

  • 39. a

    dxxax0

    224 R: 32

    6a

    40. +

    +

    1

    422 dxe xx R: 32e 41.

    +

    0

    24

    27

    21 dxxx R:

    524

    42. dxxx 3

    0

    25 9 R: 355832 43. Nndxex

    nxn

    ;0

    2 R: ( )nnn 1

    31

    +

    44.

    0

    13 dxex x R: e6

    45. ( ) 0;ln10

    11 >

    pdxp

    x R: ( )p 46. ( )

    +023

    4

    21dx

    x

    x R:27

    23 3

    47.

    +

    1

    322 dxe xx R: 2

    4 e 48. ( ) ( )

    1

    151 dxexnx R:1

    49. Nndxex xn

    ;0

    2

    R: 50.

    +08

    3

    1dx

    xx

    R: 8

    51. dxxx

    0

    4

    26 16 R: 1280

    52. ( ) 1

    0

    435 1 dxxx R: 901 53.

    2/

    0

    24 cossin

    dxxx R:

    54. ( )

    +03 1

    1 dxxx

    R: 3

    2 55. ( ) 1

    0

    438 1 dxxx

  • 56.

    +061

    1 dxx

    R: 3 57. ( )

    +023 1

    1 dxxx

    R: 3

    58.( )

    +024

    2

    1dx

    x

    x R:28

    59. Nnmdxxx nm ,;cossin2/

    0

    1212

    R:( ) ( )( )!12

    !1!1+

    nmnm

    60.

    ++ dxe xx 122

    R: 2

    89

    e 61. *2

    ;12

    1

    Nnn

    xn

    +

    +

    62.

    ++ dxe xx 1422

    R: 223 e 63.

    +0 4

    2

    1dx

    xx R:

    42

    64.

    2

    22 dxex x R: 2 65.

    1

    13 dxex x R:16

    66. ( ) 1

    0

    523 1 dxxx R: 841

    67. ( )

    +032

    4

    21dx

    x

    x R: 128

    23

    68. Integrala dxeI xx

    +=1

    563 2 are forma bake , unde

    Rbak ,, . S se afle valorile parametrilor bak ,, .

    R: 21

    63 ,8, === bak .

    69. Integrala =2/

    0

    42 cossin

    dxxxI are forma ak unde

  • Rak , . S se determine valorile parametrilor k i a .

    R: 1;321 == ak .

    70. Integrala )(0

    45,2 3 badxexI x ==

    , unde 0;, > bRba . S

    se determine valorile parametrilor a i b .

    71. Integrala ( ) ==1

    0

    8,436,3 ),(1 qpkdxxxJ , unde

    0,;,, > qpRqpk . S se determine valorile parametrilor qpk ,, .

    72. S se calculeze 0,0,)1(

    )1()1(1

    12

    1212>>

    +

    +=

    +

    nmdx

    xxxT nm

    nm.

  • 9.2. INTEGRALE DUBLE BREVIAR TEORETIC Fie 2RD un domeniu mrginit i RDf : o funcie integrabil pe D . Calculm ( )=

    DdxdyyxfI , .

    Reguli de calcul 1. Dac D este dreptunghiul [ ] [ ]dcba ,, , atunci:

    ( )

    =

    =

    d

    c

    b

    aD

    b

    a

    d

    cdydxyxfdxdyyxfdxdyyxf ),(),(,

    2. Presupunem c D este un domeniu nchis, simplu in raport cu axa Oy , adic ( ) ( ) ( ){ }xyxbxaRyxD = ,/, 2 , iar funcia ( )yxfy , este integrabil pe ( ) ( )[ ]xx , . Atunci:

    ( ) ( )

    =

    D

    b

    a

    x

    xdxdyyxfdxdyyxf

    )(

    )(,,

    .

    3. Presupunem c D este un domeniu nchis, simplu in raport cu axa Ox , adic ( ) ( ) ( ){ }yxybyaRyxD = ,/, 2 , iar funcia ( )yxfx , este integrabil pe ( ) ( )[ ]yy , . Atunci:

    ( ) ( )

    =

    D

    b

    a

    y

    ydydxyxfdxdyyxf

    )(

    )(,,

    .

  • 4. Schimbarea de variabil n integrala dubl: trecerea de la coordonate carteziene la coordonate polare. Considerm transformarea: sin,cos == yx , unde

    [ ] 2,0,0 . Rezult c dac ( )yx, parcurge domeniul D , atunci ( ) , parcurge domeniul [ ] [ ]2121* ,, = rrD , unde [ ] [ ) ,0, 21 rr i [ ] [ ] 2,0, 21 . n aceste condiii, rezult c:

    ( ) =*

    sin,cos),(DD

    ddfdxdyyxf .

    Observaie. Dac D este un domeniu nchis i mrginit, atunci aria suprafeei D este: ( ) =

    DdxdyDAria .

    Formule ce vor fi utilizate: ecuaia dreptei ce trece prin punctele ( )11, yxA , ( )22 , yxB

    este: 0111

    22

    11 =yxyxyx

    .

    ecuaia cercului cu centrul ( )baA , i raza r este: ( ) ( ) 222 rbyax =+ .

  • PROBLEME REZOLVATE

    1. Se consider [ ] [ ]0,11,0 =D i ,: RRf ( ) 12, 32 += xyyxyxf . S se calculeze ( )

    Ddxdyyxf , .

    Rezolvare:

    ( ) ( ) =

    +=

    +=

    =

    =dxyxyyxdxdyxyyxI

    y

    y

    1

    0

    0

    14

    4122

    1

    0

    0

    1

    32 12

    ( ) .24191

    81

    31

    831

    1

    0

    231

    0412 =++=

    ++=++= x

    xxdxxx

    2. S se calculeze ( ) =

    DdxdyyxI 2 , unde

    ( ){ }132;10, 22 += xxyxxRyxD . Rezolvare: Deoarece domeniul D este simplu n raport cu axa Oy , obinem:

    ( )

    =

    +

    1

    0

    13

    2

    2 .2

    dxdyyxIxx

    x Avem c:

    ( )232

    2113

    2

    23422

    ++=+

    xx

    xxxxxdyyx , prin urmare

    6071

    1

    0

    234232

    21

    =

    ++= dxxxxxI .

  • 3. S se calculeze =D

    dxdyI , unde

    ( ){ }2,2, 22 = xxyxyRyxD .

    Rezolvare: Considerm funciile RRff :, 21 , 2)(

    21 = xxxf ,

    2)(2 = xxf . Determinm punctele de intersecie ale graficelor

    celor dou funcii, rezolvnd sistemul

    ==

    222

    xyxxy i gsim

    punctele ( )2,0 A i ( )0,2B . Domeniul D este dat de suprafaa haurat.

    Observm c D se mai poate exprima astfel:

    ( ){ }22,20, 22 = xyxxxRyxD , deci D este simplu n raport cu axa Oy . Prin urmare, integrala devine:

    ( ) 342

    0

    22

    0

    22

    2

    0

    2

    222

    2

    ==

    =

    =

    ==

    dxxxdxydxdyI xy xxy

    x

    xx.

    0

    y=f1(x)

    y=f2(x)

    A(0, -2)

    B(2, 0) x

    y

  • 4. S se calculeze =

    DxdxdyI , unde D este domeniul din figur.

    Rezolvare:

    Ecuaia dreptei AC este: 2201201011

    =+= yxyx

    .

    Ecuaia cercului de centru ( )1,0 si raz 1 este: ( ) ( ) 02110 2222 =+=+ yyxyx . Coordonatele punctului B se determin rezolvnd sistemul:

    ==

    ==

    =+

    =+

    52,

    54

    2,0

    02

    2222 yx

    yx

    yyx

    yx ; obinem ( )2,0A i ( )5254 ,B . Considerm domeniul simplu n raport cu axa Ox . Cu notaiile din breviarul teoretic, punctul 2, avem:

    2,52 == ba ; ( ) ( ) ( )yyyxyx ===+ 2222 2

    121 ;

    ( ) 2222 2202 yyyyyxyyx +===+ . Rezult:

    (0, 0) C(1, 0)

    (0, 1)

    A(0, 2)

    D

    B

    x

    y

  • ( )75324125

    2

    22

    81

    2 222 2

    52

    52

    2

    22

    52

    2

    22

    =+=

    =

    =

    dyyydyxdyxdxIyyyy

    yy

    .

    5. S se calculeze =D

    dxdyI , unde domeniul D este dat de

    suprafaa haurat.

    Rezolvare:

    Ecuaia dreptei 1d este: 101211101

    +== xyyx

    .

    Ecuaia dreptei 2d este: xyyx

    == 301121211

    .

    Dorim s integrm pe domenii simple n raport cu Oy . Vom descompune D n reuniune a dou domenii 21 , DD care au interioarele disjuncte:

    (1, 2)

    (2, 1)

    2

    1

    x

    y

    O

  • Pentru 1D avem 1)(,0)(;1;0 +==== xxxba

    =

    +=+=

    ==

    +

    D

    xxxdxxdxdydxdyI

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    21

    01 2

    321)1( .

    Pentru 2D avem xxxba ==== 3)(,0)(;2,1 .

    233

    23)3(

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    23

    02 ===

    ==

    xdxxdxdydxdyIx

    D.

    Rezult c 321 =+= III .

    6. S se calculeze +=D

    dxdyyxI 22 , unde

    ( ){ }0;94, 222 += yyxRyxD . Rezolvare: Folosim trecerea la coordonatele polare:

    [ ) [ ]

    2,0,,0,sincos

    ==

    yx

    +

    032

    094 22

    yyx

    O x

    y

    1

    (1, 2)

    D1 D2

    (1, 2)

    O 1 2 x

    y

  • Vom avea: { } = 0,32),( 2* RD i dddxdy = .

    31919

    31

    00

    3

    2

    22*

    ==

    == dddddI

    D.

    7. S se calculeze aria discului de raz r , unde 0>r . Rezolvare: Avem de calculat aria domeniului ( ){ }2222 /, ryxRyxD += . Conform observaiei din breviarul teoretic, aria domeniului D este egal cu

    Ddxdy .

    Folosim trecerea la coordonatele polare :

    [ ) [ ]

    2,0,,0,sincos

    ==

    yx

    ( ) [ ] [ ] 2,0,,0, 222 + rryxDyx . Prin urmare, { } 20,0),( 2* = rRD i dddxdy = . Prin

    urmare,

    22

    0

    22

    0 0 2*rdrdddddxdy

    r

    DD

    ==

    == .

    8. S se calculeze +=

    D

    yx dxdyeI22

    unde

    ( ){ }yxyxRyxD += 0,41, 222 .

  • Rezolvare: Folosim trecerea la coordonatele polare:

    [ ) [ ]

    2,0;,0,sincos

    ==

    yx

    .

    ( ) [ ]

    +

    2,

    4,2,10,41, 22 yxyxDyx .

    Avem: ( ){ }242* ,21, = RD i dddxdy = . Rezult:

    =

    ==

    + 2

    4*

    2222 2

    1

    sincos

    ddeddeID

    ( ) 222221

    2

    1 42 2

    4

    2

    4

    2

    4

    eedeeeeddee ==+=

    =

    .

    PROBLEME PROPUSE 1. S se calculeze ( ) +

    Ddxdyxyyx 725 3 unde

    [ ] [ ]2,10,2 =D . R: 10 .

    2. S se calculeze

    +

    Ddxdy

    xyx unde

    ( ){ }10,31, 2 = xyxRyxD . R: 3ln21314 + . 3. S se calculeze ++D

    dxdyyx 11 , unde

    ( ){ }0,0;3,1, 2 += yxyxxyRyxD . R: 2ln2 .

  • 4. S se calculeze ( ) +D

    ydxdyxxy 32

    unde ( ){ }31;21, 222 ++= xxyxxRyxD . R: 154 . 5. S se calculeze

    Ddxdy

    xy 4 unde

    ( ){ }112,41, 22 += xyxxRyxD . R: 9229 . 6. S se calculeze

    D

    dxdyxy , unde

    ( ){ }22 12,21, xyxxRyxD = . R: 2ln2187 . 7. S se calculeze +

    D

    yx dxdye )(22

    unde unde

    ( ){ }0,0,16, 222 += yxyxRyxD . R: ( )4

    1 16 e .

    CAPITOLUL 9 - CALCUL INTEGRAL9.1. INTEGRALE GENERALIZATE9.1.1. INTEGRALE CU LIMITE INFINITE9.1.2. INTEGRALE DIN FUNCII NEMRGINITE9.1.3. INTEGRALE EULERIENE

    9.2. INTEGRALE DUBLE